Газета «Народ»

Газета «Народ»
Фазы Луны на RedDay.ru (Киев)

ТАИНСТВЕННАЯ ВЯЗЬ ИСТОРИИ

В разные эпохи один и тот же объект принимал образы символа Одина (Валькнута), колец Борромео, матриц Адамара. Так ему удалось пережить столетия…

СИМВОЛ ОДИНА (ВАЛЬКНУТ)

Кольца Борромео, матроид Фано и матрицы Адамара – три разные ипостаси объекта, трактуемого в разные века и у разных народов как святая Троица, символ Одина или Валькнут. Валькнут часто встречается при археологических раскопках на древних рунических камнях (как правило, поминальных) рядом с изображениями Одина или павших воинов. Его иногда так и называют – Узел Павших или Узел Избранных.

Три переплетенных треугольника символизируют три мира: мир богов (Асгард), мир людей (Мидгард) и мир мертвых (Хель). Не часто в мире встречается символ подобной силы. Как говорит А. Платов (Платов А., Дарт А. ван. Практический курс рунического искусства. К.: София, 2000): «Три мира переплетены в этом символе Отца Магии; следует видеть в этом знак того, что маг черпает Силу и мудрость изо всех трех миров, взаимопроникающих и пересекающихся чаще, чем об этом думают. Валькнут – своего рода Северная Мандала. Созерцание такого глубокого магического символа, как Валькнут, и размышление о его сути – возможно, это одна из тех многих тропок, что могут вести к самотрансформации».

КАРТА КОСМОСА: МАНДАЛА

Мандала – это геометрический символ сложной структуры, который интерпретируется как модель вселенной, «карта космоса». Типичная форма – внешний круг, вписанный в него квадрат, в который вписан внутренний круг, который часто сегментирован или имеет форму лотоса. Нечто сходное с матрешками орбит Кеплера или с магическим квадратом Ло Шу, вырезанным на спине черепахи китайским божеством.

Внешний круг – Вселенная, внутренний круг – измерение божеств, бодхисаттв, будд. Квадрат между ними ориентирован по сторонам света. Мандала символизирует сферу обитания божеств, чистые земли будд. Мандалы могут быть как двумерными, изображенными на плоскости, так и объемными, рельефными. Их вышивают на ткани, рисуют на песке, выполняют цветными порошками и делают из металла, камня, дерева. Ее даже могут вырезать из масла, которое окрашивают в соответствующие ритуальные цвета. Мандалы часто изображают на полах, стенах и потолках храмов.

Мандала является настолько священной на Востоке, что рисуется под аккомпанемент особых ритуалов и сама может считаться объектом поклонения. Некоторые из мандал выполняют из цветных порошков для проведения определенной ритуальной практики (например, в посвящении Калачакры). До наших дней дошел Календарь древней цивилизации Майя, выполненный в форме мандалы.

Карл Густав Юнг идентифицировал мандалу как архетипический символ человеческого совершенства – ныне она используется в психотерапии в качестве средства достижения полноты понимания собственного «я». В Индии сохраняется сходное искусство – ранголи, или альпона. При очевидной восточной вычурности эффект мандалы известен, впрочем, с детства едва ли не каждому, вспомните калейдоскоп. Для надстройки сознания мандалу нужно созерцать. К концу ритуала сделанную мандалу разрушают.

КОЛЬЦА БОРРОМЕО

Что же такое “кольца Борромео”? Это три кольца, попарно не сцепленные, но в совокупной целостности разъединить их не удается. Кольца соединены таким способом, при котором любые два кольца скрепляются посредством третьего. Такие кольца были изображены на фамильном гербе знаменитого в эпоху Возрождения итальянского семейства Борромео, откуда они и получили свое название.

В предположении, что все кольца плоские, такая фигура не может существовать. Для создания фигуры в трехмерном пространстве, необходимы трехмерные изгибы колец. Математические кольца Борромео определяются как три или больше топологических окружности, объединенных в соединении Брунниана таким образом, что при удалении из конструкции одной из них оставшиеся два оказываются разомкнутыми. Если подразумевать под кольцами физические подсистемы, то их характерной особенностью является то, что если одно кольцо убрать, то два оставшихся не будут связаны никакими корреляциями. Они станут сепарабельными (разделимыми), то есть их запутанность распадается с удалением любого кольца.

Международная группа физиков получила из трех обычных атомов новое состояние вещества, предсказанное советским ученым Виталием Ефимовым еще в 1970 году.

Он показал, что в квантовой системе из трех частиц наличие «резонансности» парных сил необходимо и достаточно для возникновения семейства связанных уровней, в отдельных случаях содержащее бесконечное их количество. Наиболее благоприятно этот эксперимент протекает в системе бесспиновых нейтральных бозонов. В новом эксперименте существование эффекта, предсказанного советским физиком, было подтверждено для системы из атомов цезия. Любые два из этих атомов отталкиваются при сближении. «Но если соединить вместе три атома, оказывается, что они притягиваются и переходят в новое состояние», – объясняет доктор Чэн Чин из Чикагского университета. Он и его коллеги из Инсбрукского университета в Австрии под руководством Рудольфа Грима получили новое состояние вещества в вакуумной камере при очень низких температурах, почти при абсолютном нуле.

Атомы в новом состоянии ведут себя как «кольца Борромео» – узел из трех колец в котором любые два не связаны друг с другом, но все три вместе образуют единый узел.

Кольца Борромео как топологическая структура используются в качестве символа христианской Троицы. Ранее нередко встречались такие символы, как равносторонний треугольник, круг и некоторые другие, но сейчас все чаще Троицу изображают в виде колец Борромео. Одним из самых ранних источников, где было приведено такое символическое изображение Пресвятой Троицы, считается рукопись тринадцатого столетия, которая хранилась в муниципальной библиотеке г. Шартр (Chartres) во Франции. К сожалению, рукопись погибла в огне в 1944 году.

Во все времена кольца Борромео служили символом «силы в единстве». Семьи Борромео и ныне владеет на севере Италии тремя островами на озере, где расположен впечатляющий дворец в стиле барокко, построенный в семнадцатом веке Витальяно Борромео. В самом дворце и в саду можно встретить много примеров знаменитой эмблемы дома Борромео. Невозможные объекты получили развитие в рисунках Эшера.

МАТРОИД ФАНО

Центральная часть колец Борромео проецируется на диаграмму или матроид Фано. Возьмем треугольник с медианными линиями. Будем считать (одной) стороной (или блоком) совокупность трех точек пересечения, всего точек семь: (7,3,1).

Диаграмма показывает 3-ранговый матроид, называемый матроидом Фано, пример, который появился в 1935 в статье Уитни (Whitney). Название возникло из того факта, что матроид Фано представляет собой проективную плоскость второго порядка, известная как плоскость Фано, чье координатное поле – это двух-элементное поле. Это означает, что матроид Фано – векторный матроид, связанный с семью ненулевыми векторами в трехмерном векторном пространстве над полем 2-х элементов. Из проективной геометрии известно, что матроид Фано непредставим произвольным множеством векторов в вещественном или комплексном векторном пространстве (или в любом векторном пространстве над полем, чьи характеристики отличаются от 2).

Матроид (в дискретной математике и комбинаторике) – структура, которая схватывает сущность понятия «независимость», обобщающего линейную независимость в векторных пространствах. Классификация подмножеств некоторого множества, представляющая собой обобщение идеи независимости элементов, аналогично независимости элементов линейного пространства, на произвольное множество. Выделим все блоки по три точки: A = {123, 145, 167, 246, 257, 347, 356}. Это координаты – если считать верхний левый угол 0 – единиц матрицы инцидентности – матрица связей графа (матрицы Адамара).

 

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
 –1
 –1
 –1
 –1
1
1
 –1
 –1
1
1
 –1
 –1
1
1
 –1
 –1
 –1
 –1
1
1
1
 –1
1
 –1
1
 –1
1
 –1
1
 –1
1
 –1
 –1
1
 –1
1
1
 –1
 –1
1
1
 –1
 –1
1
1
 –1
 –1
1
 –1
1
1
 –1

 

Существуют и иные символы, идущие от древности, содержащие базисные коды, которые человечество в потемках нарождающейся цивилизации слагало, изобретая геометрические треугольные, квадратные и прочие числа.

И-Цзин – триграммы “Книги перемен”

Увлекаться лежащими на поверхности фактами древней истории для извлечения из них малопродуктивных спекуляций не стоит, но историю символов полезно знать.

ИНТЕРНЕТ ЛИТЕРАТУРА
СТАТЬЯ ЛЕВИНА | НЕВОЗМОЖНЫЙ МИР | НАНОМИР | КВАНТОВАЯ МАГИЯ
ДВЕ ЦИВИЛИЗАЦИИ

Вязь истории затейлива, как кладка пирамид. Кто они такие, халдейские маги, что пришли в Вифлеем преклонить колени перед новорожденным Мессией? А магрибские колдуны? В фильме “Волшебная лампа Алладина” дядя – злой магрибский колдун.

Магриб – темечко Африки (далекий Запад) – и Мидия (Восток от Вавилонии) – источники оккультных знаний и настроений. Парность, это древнее изобретение. Мидийский бог времени Зерван – крылатое божество, из плеч которого появляются близнецы. Бог имеет мужскую голову наверху и женскую на груди. Зерван, это – ничто, и оно же – зерно. Бог дал начало добру и злу, двум краскам, сотворившим мир. Злу свойственно притворяться добром, это близнецы. Зло появилось на свет первым и заявило – что оно то и есть добро.

Для греков Фалес и Пифагор – такие же странствующие мудрецы, как и мидийские маги – для Вавилона. В арабском мире басни про путешественников сложились в мифическую фигуру Синдбада морехода, воюющего с циклопами на территории древней Испании. Синдбад – это Пифагор, но в новом его воплощении.

Синдбад посещает страны, где водятся циклопы и джинны: ифриты, гули, силаты и мариды. Самыми могущественными из них являются ифриты. Часто изображаются как волшебные существа, заключенные в лампу или бутылку. Джинн подчиняется воле того, кто вызволил его из заточения, и исполняет его желания. По сей день широкой популярностью пользуются книги-руководства по покорению джиннов.

Восточная Вавилония была замечательной страной. Она орошалась двумя реками. Тигром и Евфратом, между которыми и находилась. Означенные реки, принимая в себя массу воды с Армянских гор, весьма часто выступали из берегов, обильно оплодотворяли всю страну наносным илом. Вавилонская равнина имеет около 400 миль в длину и 100 в ширину. Она очень плодородна. Жатва и урожай различных хлебных растений вознаграждались здесь сторицею. Обширные поля пшеницы, сжатой дважды в году, и после того давали обильный и прекрасный корм для скота. Продукты пальмовых деревьев были также различны и обильны.

Ассирия, расположенная севернее Месопотамии, оказалась на стратегически важном торговом пути, безопасность которого она смогла гарантировать, создав регулярную армию. Воин получал для службы железные шлем и нагрудник. Ассирийцев изображают иногда жестокими притеснителями окружающих народов. Едва ли в то время можно было выделиться жестокостью, скорее, речь идет о барельефах, хранящих память о тех или иных охранительных операциях, которыми ассирийцы сдерживали желающих пограбить караваны. В результате, не столько царство, сколько влияние Ассирии простерлось от Египта до Персидского залива.

Маска легендарного ассирийского царя Саргона Древнего

Обладая серьезными контрибуциями, цари Ассирии многое чего могли себе позволить. Крупный город Ассирии, Ниневия, имел строгую планировку, нарушать которую застройщикам запрещалось особым предписанием. Его главная улица, так называемая дорога процессий, была шириной 26 метров. Он получил название город львов, так как на его главных воротах стояли статуи львов, напоминающие путникам о характере его обитателей.

Эжен Делакруа. Смерть Сарданапала, 1827

Во время царствования Ашшурбанипала (Сарданапал – его абстрагированный образ) в Ниневии была создана знаменитая царская Куюнджикская библиотека, в которой хранилось более 30 тыс. клинописных табличек. Не стоит преувеличивать значение этого обстоятельства. Ашшурбанипал был единственным ассирийским царем, знавшим клинопись. Он был, своего рода, собирателем древностей. Происхождение табличек относят к очень давним временам, к шумерам, которые изобрели колесо и обладали математическими знаниями.

В 630 г. до н.э. Ниневию разрушили спустившиеся с Кавказских и Таврских гор халдеи, не оставившие от царственного города львов и следа. В семье народов выросли новые богатыри, претенденты на владетельные функции. Халдеи – рыжие, прозванные так, потому что они владели железом, которое ржавеет. Совместно с мидийцами, они захватили огромную территорию, названную Халдеею. Ниневия бездумно разрушена, а новым хозяевам нужна метрополия. В 626 г. халдей Набупалассар захватил вавилонский трон.

Вавилон ночью

Новая столица, пыльный и шумный Вавилон, размещалась в стратегически важном месте – прямо посреди голой песчаной равнины – и не радовала царицу Амитис (Семирамида), выросшую восточнее, в гористой и зеленой Мидии. Чтобы утешить ее, халдейский царь Навуходоносор приказал возвести Висячие Сады, достойные упоминания как одно из семи чудес света. Властью, взятой из хладных рук прежних грозных государей, купающимся в роскоши царям удалось попользоваться недолго. В 536 н.э. страна соединилась с Персиею, другого выхода аншанский предводитель мидийской кавалерии Кир II (Кир Великий) халдеям попросту не оставил.

За две сотни лет до Александра македонского персидский царь Кир создал превосходную конницу, покорил множество народов, грозя даже Египту, пока не угодил к массагетам. Царица Томирис приказала отрубить его голову и бросить ее в наполненный кровью кожаный мех. На этом история великого завоевателя, замечательного полководца и прямого предшественника самого золоторогого закончилась, но империя продолжила свое существование. Подданные Царя Царей расставили в самых неожиданных и неприступных местах изображения нового владыки, Дария. Выглядит это так. Пустыня, пустыня, Дарий на неприступной скале, и опять пустыня.

Томирис

Обратимся теперь к нашему путешественнику. По преданию Пифагор в 18-летнем возрасте покинул родной остров и, объехав мудрецов в разных краях света, добрался до Египта, где пробыл 22 года, пока его не увел в Вавилон в числе пленников персидский царь Камбис (сын Кира Великого), завоевавший Египет в 525 до н.э.

Накал борьбы двух грандиозных речных держав был высок. В гневе на своего бывшего командира и перебежчика Фанеса, греческие наемники, оставшиеся верными фараону, закололи перед строем его сыновей, находившихся в Египте, смешали их кровь с вином и, выпив эту смесь, бросились в бой. В ходе кровопролитного сражения пало много воинов, как с египетской, так и с персидской стороны. Геродот, посетивший поле боя примерно семьдесят лет спустя, видел там множество костей убитых воинов, сваленных в отдельные кучи. На одной стороне лежали кости персов, как они были погребены, а на другой – египтян.

Покорив Египет, Камбис, недооценив черный континент, устремился вглубь Африки, где заразился безумием. Из лука застрелил сына своего доверенного человека Прексаспа, велел без всякой веской причины схватить двенадцать знатнейших персов и с головой закопать живыми в землю, а также хотел казнить и Креза, своего советника и наставника, лишь за то, что тот сделал ему по этому поводу замечание. Верные слуги укрыли Креза и, хотя в дальнейшем Камбис простил Креза, все слуги за ослушание были казнены.

По официальной версии, зафиксированной в Бехистунской надписи царя Дария I, пока Камбис покорял Магриб, власть в Вавилоне под видом Бардии захватил маг (то есть мидийский жрец) и самозванец Гаумата. Оповещенный вещим сном, царь вскакивает на коня, тут отпал наконечник ножен его меча, и обнаженный меч рассек ему бедро. Рана была в том самом месте, куда он прежде сам поразил египетского бога Аписа. Камбис скончался, не оставив наследников.

Пифагор, таким образом, попал в точку столкновения двух великих речных цивилизаций, дележа древних царств, накопивших значительные богатства, складированные в столице с огромнейшим храмом, зиккуратом, который должен был произвести на него неизгладимое впечатление. Кастовость и скрытность жрецов перешла потом в практику пифагорейской школы. В Вавилоне скиталец пробыл 12 лет, общаясь с магами, пока наконец не смог вернуться на Самос в 56-летнем возрасте, где соотечественники признали его мудрым человеком.

Шарль Брюн – вступление Александра в Вавилон

Заметим, что Александр Великий, через двести лет, учителем его будет Аристотель, основав Александрию, умирает в аттрактивном для завоевателей Вавилоне. После чего дюжина его диадохов, а именно, Антигон I Одноглазый, по прозвищу Циклоп, Пердикка, Селевк I Никатор, Птолемей I Сотер (заметим, все – только первые, время сжалось), Лисимах, Эвмен – личный секретарь Александра Великого, Кассандр, телохранители Кратер и Пифон, и другие заинтересованные лица два десятка лет будут гонять колонны гоплитов – греческих наемников – по громадной завоеванной территории, пока не перебьют друг-друга.

Заодно уничтожив сына их полководца, жену и мать Олимпиаду. Среди этих профессиональных головорезов Антигон, последователь стоика Зенона, смотрится еще приятным исключением. Он долго протянул. Царственная Персия не продержались у кормила власти и двухсот лет. Египет к войне тетрархов уже настолько изничтожился, что Птолемей захватил его без сучка, без задоринки. И начал насаждать греческую культуру. В сочинениях поздних греков – египтяне, это сидящие в тростниках разбойники. Дочь тринадцатого по счету греческого фараона (удивительное смешение, египтяне уж точно, живут веками и никуда не спешат) Клеопатра встретила нового завоевателя, римского императора Цезаря.

Тетрадрахма с профилем диадоха Лисимаха

Мы видим, таким образом, что “халдейские маги”, происходящие из невежественного бедуинского племени, едва ли успели набраться невероятной степени учености, чтобы просветить юных греков. Новые народы пришли в Вавилонию на готовое. Они не отменяли официального культа Мардука и других астральных божеств. Для этого своего Мардука нужно было еще выдумать. Персы молились на огонь. Тут даже великий обезьяний бог Хануман смотрится величайшим приобретением, просуществовал благополучно до сих пор и продолжает трудиться (в мультфильмах).

Древние как мир египтяне более похожи на учителей, если бы не одно но. Происхождение своего сфинкса они не знают сами. Для них он “всегда тут был”. Обозначение чисел у египтян примерно такое же, как и у халдеев. Цифры первого десятка они рисуют палочками. Какое число, столько и палочек или клинышков. Конечно, есть десятичное основание, но тут все равно что-то не так. Даже солдафоны римляне додумались придвинуть основание поближе, это V. Греки, отказавшись от палочек, изобрели цифры: количества они обозначали буквами своего алфавита.

Роль Вавилона и Египта в сказаниях о древних мудрецах условна. Это богатые дальние страны с присущей им экзотикой. Фалес и Пифагор, познав их, пришли и принесли с собой ворох заемщины, иностранщины. В самом Вавилоне такие фигуры облекались в иные – мидийские, например, одежды. Они известны и у нас в стране. Еще Алексей Михайлович запрещал при дворе своим подданным носить иностранное платье. Петр I посетил Людовика XIV и отстроил к своему и нашему удовольствию Мон Плизир. Вслед таким причудливым путешественникам идут глобальные преобразования. Россия обзавелась Академией, следуя давнему примеру.

Лет за тридцать до путешествия Пифагора знаменитый ученый, Фалес Милетский, освоивший древнее учение, уже предсказал полное солнечное затмение. Все это произошло, если верить античной историографии, для которой оба мудреца, как, впрочем и Ашшурбанипал–Сарданапал, Кир, Александр – вполне мифические персонажи. Подобные Энею, герою гомеровского эпоса, усилиями Вергилия ставшему праотцом всех римлян. Из сказочной тьмы высыпаются груды глиняных черепков, монеты, колонны, статуи – нашпиговавшие развалины городов и свидетельствующие о событиях, эхо которых тревожит новые поколения землян.

Вавилонские жрецы, согласно легендам, несли с собой сверхдревнюю тайную трансовую культуру, заимствованную ими от какой-то працивилизации, погибшей в Индийском океане двенадцать тысяч лет назад. Многие исследователи считают Шумер, древний Вавилон, как и древний Египет, осколками цивилизации исчезнувшей Атлантиды. Когда речь заходит о Шумере, вспоминают и затонувший материк Му, основное население которого составляли краснокожие и чернокожие мутанты. Но, тем не менее, праотцами шумеров считают бледнолицых и черноголовых аннунаков с планеты Нубиру.

Пойдем восточнее, и окажемся в Гоби. Таинственной пустыне, расписанной Ефремовым. Двинемся западнее, задышит не менее таинственный Магриб.

ШУМЕРЫ ВАВИЛОНИЯ СЕКСТ-ЭМПИРИК НЕФЕДОВ С.А. | ЗЕРВАН
ПОВЕЛИТЕЛИ ВАВИЛОНА – ХАЛДЕИ

В 630 г. до н.э. халдеи спустились с Кавказских и Таврских гор бурным потоком, овладели западною Азией, разрушили Иерусалим, покорили под свою власть Тир и Финикию и основали государство, простиравшееся до берегов Средиземного моря и названное по имени их Халдеею. В 536 н.э. Халдея соединилась с Персиею, в 640 г. как Персия, так и Халдея подпали под власть Магомета, и, наконец, в 1639 г. под власть турок.

Кто из нас не слышал библейскую историю о том, как халдейские маги и восточные цари, следуя указаниям путеводной звезды, пришли в Вифлеем, чтобы преклонить колени перед новорожденным Мессией и воздать ему принесенные дары. Существует много версий относительно халдеев.

С давних времен историки разделяли халдеев-народность и халдеев-жрецов. Халдеи-народность – это семито-арамейская народность, проживавшая в конце II – начале I тыс. до н.э. на территории Южной и Средней Месопотамии. Вели борьбу с Ассирией за обладание Вавилоном. В 612 г. халдеи в союзе с мидийцами свергли ассирийское господство. В 626—538 гг. до н.э. в Вавилоне правила халдейская династия (Навуходоносор II и др.), основавшая Нововавилонское царство.

Халдеи не отменяли официального культа Мардука и других астральных божеств, но у них была и своя эзотерическая традиция, очевидно “архаичного” образца. Считается, что это с их подачи на всем семитском Востоке получили распространение амулеты и талисманы, приемы первобытной магии (энвольтирование) и примитивного гипноза (“сглаз”).

В Древней Греции и Древнем Риме халдеями называли жрецов и гадателей вавилонского происхождения. ХАЛДЕИ (мн., ивр. KAS’DIM, греч. `oi chaldaioi) были очередным семитским племенем, давно обитавшим в Междуречье. По археологическим данным, пришли они туда с юго-запада, из Аравии, примерно около середины эры Овна (1000 до н.э.). Это были воинственные бедуины, состоявшие одно время на службе у ассирийских царей. В 626 г. халдей Набупалассар захватил вавилонский трон.

Во время эллинизма имя халдеев сделалось обозначением вавилонского жречества с его “наукой”. По Ктесию, халдеи пришли из Египта с Белом, организовавшим их в жреческую касту и научившим всякой божеской и человеческой премудрости, которую они в течение веков передавали из рода в род. Таким образом, халдеи, наряду с магами, друидами, брахманами, приобрели репутацию жреческих философов, всесветных мудрецов. Это представление сделалось господствующим. Халдеи сделались синонимом вавилонской культуры. Их считали основателями звездочетства и астрономии (Diod., II, 3 1, между прочим, говорит об их наблюдениях, обнимавших тысячелетия), первыми провозгласившими бессмертие души (Paus. 4, 32), математиками (Porphyr. v. Pythag. 9) и натуралистами, теософами и т. п. В связь с ними ставили даже религию Зороастра, объявляя его учеником их (Ammian Marcel. 23. 6) и т. п.

По всему миру можно было встретить странствующих шарлатанов, называвших себя халдеями. Уже Катон предостерегал от них римлян (De agricult., 5). В 139 г. до н. э. сенат изгнал из Рима шайку халдеев, но вскоре при трупе одного консула нашли халдейскую грамоту (Plut. Mar. 42). В халдеев веровал Сулла (Plut. S. 73), Цезарь, Помпей, Красс не гнушались слушать их предсказания. Существовали целые оккультистические школы халдеев. Тиверий на Родосе изучал у какого-то Фрасилла Scientiam Chaldaeorum artis (Tac. Ann. VI, 20). Халдеи имели успех при дворе императоров и у аристократии, а для провинций, после общественных бедствий, они были настоящими бичами, эксплуатируя суеверие, несмотря на протесты таких людей, как Фаворин (у Gell. 14, 1: «Adversu s e os, qui Ch. appellantur»). При таких условиях совершенно забывалось различие халдеев и вавилонян и даже вообще этнографическое значение термина “халдеи”.

Последним, кто даeт себе в этом отчeт, был Страбон. Впрочем, во время парфян и Сассанидов различие окончательно сгладилось, тем более, что население Вавилонии осложнилось новыми элементами: иранцами, сирийцами, арабами. Смешение культур и синкретизм религий ещe более содействовал усилению ложных наук и теургий. Представители смешанного населения на почве древней культуры, гордясь своим мнимым происхождением от еe насадителей, производили впечатление ещe на мусульманских арабов времeн Аббасидов. Псевдохалдейская премудрость долго держалась как в Вавилонии (Багдад), так, особенно, в Месопотамии (см. Харран), выставив ряд учeных (особенно Сабит ибн Курра, 826-901 г.) и целую литературу (на арабском языке) якобы переводов с древних вавилонских трактатов и сочинений якобы о вавилонской религии и философии.

Эти заведомые фальсификации высоко ценились до более близкого знакомства с подлинной вавилонской литературой.

Два названия – Халдея и Вавилония по-видимому очень часто прилагались к одной и той же стране. Первоначальное название по крайней мере известной части Халдеи было Сеннаар. Так как иудеи долгое время находились в Вавилонском плену, то они постепенно усвоили себе язык своих властелинов. Знание еврейского языка значительно забылось по крайней мере в среде простого народа, и потому чтобы дать ему возможность читать и понимать Священное.

Писание, были сделаны парафрастические переводы ветхозаветных писаний на халдейский язык. Со времен вавилонского плена по-видимому ведет свое происхождение и иудейская каббала.

Древнее понятие халдейского жреца-мага во многом затерто понятием халдея-христианина (несторианца). Несторианцы-христиане, в свое время спасаясь от гонений, бежали из Константинополя в Вавилон и организовали там свою церковь, получившую права патриархата и состоящую в унии с Римом. Поскольку церковь именуется Халдейской, то и христиан-несторианцев называют халдеями. Но, совершенно понятно, что к древним магам-халдеям христиане-несторианцы отношения не имеют.

Шумерские жрецы-халдеи были обособленным сословием, происходившим из знатных фамилий. Звание жреца было наследственным, кандидат в жрецы должен был быть здоров и не иметь физических недостатков.

Чаще всего правитель был и первосвященником, т. е. высшим жрецом, осуществлявшим на земле связь между Небом и людьми.

Вавилонские жрецы, согласно легендам, унесли с собой сверхдревнюю тайную трансовую культуру, заимствованную ими от какой-то працивилизации, погибшей в Индийском океане двенадцать тысяч лет назад. Но многие исследователи считают Шумер, древний Вавилон, как и древний Египет, осколками цивилизации исчезнувшей Атлантиды. Когда речь заходит о Шумере, вспоминают и затонувший материк Му, основное население которого составляли краснокожие и чернокожие мутанты. Но, тем не менее, праотцами шумеров считают бледнолицых и черноголовых аннунаков с планеты Нубиру (Ю.Каныгин).

Часть халдейской трансовой культуры была заимствована иудеями во время вавилонского пленения (VI век до н. э.) и вошла позднее в каббалу – древнееврейскую трансовую культуру. Греки халдеями называли древнюю касту жрецов, принадлежавших к племени халдеев, которые занимались астрологией и астрономией. Когда Александр Македонский находился на пути в Вавилон, он встретил “халдейских предсказателей”, которые убедили его не входить в город, поскольку “они узнали по звездам, что царская смерть должна наступить в Вавилоне”. Халдеи были жрецами Бела-Мардука и они делали также предсказания наследникам Александра Антигону и Селевку.

Геродот (451 г. до н.э.), который упоминает группу жрецов бога Бела, которых он называет “халдеи” (“История” I 181-183).

Образ жизни этих “халдеев” описывает Страбон в “Географии” (кн. 16, ч.1) следующим образом: “В Вавилонии для местных философов, так называемых халдеев, которые занимаются главным образом астрономией, выделено особое поселение; причем некоторые из них, не признаваемые другими, выдают себя за предсказателей судьбы. Существует также племя халдеев, и территория, занимаемая ими, находится по соседству с арабами и Персидским морем… Существует также несколько племен халдейских астрономов. Некоторых, например, называют орхенами, других – борсиппенами и другими различными именами, согласно подразделению на разные секты, которые придерживаются разных учений по одним и тем же предметам. И математики упоминают о некоторых из этих людей, как, например, о Кидене, Набуриане и Судине. Селевк из Селевкии принадлежит также к халдеям…”.

Так называемые халдеи Страбона все жили в Персидскую и Эллинистическую эпохи. Страбон проводит различие между “так называемыми халдеями”, которые были философами и астрономами (астрологами), и племенем халдеев, которое жило на юге Вавилонии около Персидского залива. Это различие правильно. Во времена Навуходоносора халдеями как раз называли людей, живших в этой южной области, и цари Вавилона принадлежали к их числу. Уже позднее именем “халдеями” стали обозначать класс жрецов, живущих в Вавилоне, которые занимались астрономией и астрологией.

Плутарх в сочинении “Об Исиде и Осирисе” сообщает: ” Халдеи заявляют, что из планет, которые они именуют “богами-хранителями”, две благоприятные, две неблагоприятные, а три другие средние и имеют отношение к обоим свойствам”. Плиний сообщает (“Nat. Hist.” XVIII) о том, что существовала “Парапегма халдеев”. Плиний приводит 10 пунктов из этого звездного календаря. В части 2 сочинения “Isagoge” Гемин приводит описание астрологического учения об аспектах. Гемин приписывает это учение и его приложение в гороскопии халдеям. Цензорин (“De die natali”, 18, 7) считает халдейским изобретением и систему “Додекаэтерид”.

Исследователи отмечают ясность изложений халдейских учений античными авторами, говорящую о стройности астрологической системы халдеев.

В литературе поздней античности халдей – восточный астролог, астролог, обучавшийся у месопотамских или других иностранных мастеров. Мидийская жреческая каста магов и халдейские жрецы считались представителями ближневосточных тайных учений, поэтому их имена заимствованы античной астрологией и магией.

СВЯЩЕННАЯ СЕМЕРКА

Бог Двуречья, Мардук, вооруженный луком, дубинкой, сетью и в сопровождении четырех небесных ветров и семи бурь, созданных им для борьбы с одиннадцатью чудовищами Тиамат (богиней Хаоса, Океан), вступил в бой. В разинутую пасть Тиамат он вогнал «злой ветер», и та не смогла закрыть ее. Мардук тут же прикончил Тиамат стрелой, расправился с ее свитой и отнял у убитого им чудовища Кингу (мужа Тиамат) таблицы судеб, которые дали ему мировое господство. Далее Мардук начал творить мир: он рассек тело Тиамат на две части; из нижней сделал землю, из верхней – небо, а из глаз – реки Тигр и Евфрат.

Греки превратили ипостаси Мардука в богов, из них Зевс – сильнейший. Боги создали человека и весь «небесный Вавилон». Греческие боги Гомера заняты судьбами людей, своих любимцев. Почитание магии цифр 3, 4, 7, 11 сохранилось и перешло в новые мифы.

У Атланта, подпиравшего плечами небесный свод, было семь дочерей – плеяд, которых Зевс превратил затем в созвездие; Одиссей семь лет провел в плену у нимфы Калипсо на острове Огигия; подземная река Стикс семь раз обтекает ад, разделенный, в свою очередь, на семь областей; у вавилонян подземное царство окружено семью стенами; по исламу, над нами находится семь небес, и все угодные богу попадают на седьмое небо блаженства: начиная с Халдеи, семерка, как добрая помощница, фигурирует в знахарских заговорах, заклинаниях.

Отголоски почитания этого числа остались в разговорном языке многих народов до наших дней. И сейчас мы говорим: “Семь бед – один ответ”, “Семеро одного не ждут”, “Семь раз отмерь, один – отрежь”: Большое развитие получили у халдеев астрономия и математика. Они выделили среди звезд созвездия, дали им названия; определили, как движутся по небосводу Солнце, Земля, Луна и планеты; научились довольно точно предсказывать солнечные и лунные затмения. Все это требовало немалых познаний в математике. Халдеи научились извлекать квадратные и кубические корни, знали об арифметической и геометрической прогрессиях.

У халдейских племен существовало многобожие, и каждый из небожителей имел свое число. Об этом рассказали клинописные таблички, обнаруженные археологами при раскопках библиотеки древнего ассирийского города Ниневии.

“Творец мира” Бел обозначался числом 20; бог Луны Син – 30, низшие духи, в соответствии с их положением среди богов, зашифровывались уже только дробными числами: Утук – 30/60, Маским – 50/60 и т. д. Символом вечности у халдейских жрецов-математиков считалось число 653. Священным было число 6532. С ними производились различные действия: разложение на составные части, возведение в степень. Различными комбинациями цифр зашифровывались астрономические познания, истории городов и проч.

С особым почтением относились халдеи к числу 60. При раскопках древнего Ниппура (территория нынешнего Ирака) обнаружены целые хранилища пластинок с записанными на них математическими упражнениями вокруг числа 60 и особенно 604. Почему?

Объяснять смысл математических головоломок “непосвященным” халдейские мудрецы отнюдь не собирались, и сейчас мы можем только догадываться, какие реальные факты и знания того времени были зашифрованы в цифровой магии. Своему народу жрецы преподносили мистику чисел лишь в самой элементарной форме: каждый житель Халдеи знал, что среди первого десятка чисел благоприятствующими человеку, счастливыми являются три и семь. Вот из какой древности пришла к нам вера в “счастливую семерку”!

Позднее, когда числовая мистика пустила корни во всем античном мире, эта вера была повсюду непререкаема. В числе семь древние видели отражение многих явлений мира: неделя делилась на семь дней; на небе было известно в те времена семь планет, а на земле насчитывалось семь чудес света: Большое место занимает эта цифра в древних мифах. Халдейская культура оказала большое влияние на культуру других народов древнего мира, а весьма заметной составной частью этой культуры, как уже сказано, была числовая символика. Мы видим, как она перекочевывает к народам Востока, к древним грекам и римлянам.

Любопытно, что в индийской мифологии халдейская магия с числами оставила свой след главным образом в увлечении большими числами.

В известном индийском сказании о битве людей с обезьянами сообщается, например, что в ней участвовало ни много, ни мало, как 10 тысяч секстильонов обезьян (!); Будда, оказывается, имел 600 миллиардов сыновей, и сам он был выдающимся математиком. Интерес к халдеям-жрецам в последнее время приобретает новый интерес. Учитывая тот факт, что халдейские звездные таблицы насчитывают записи космических наблюдений на протяжении десятков тысяч лет, эти древние знания в современной научной экстраполяции могли бы помочь человечеству избежать многих ошибок на его вселенском пути.

Стоит отметить, что “халдеями” европейцы и до сих пор по традиции иногда называют жителей Ирана и Ирака – христиан, а их церковь и официально называется Халдейской (Catholic Chaldaean Church, уния с Римом 1553, резиденция Патриарха в Багдаде). Но это, само собой, не те халдеи, о которых идет речь.

ТРИ ЗАГАДКИ ИШТАР

Согласно легенде о Иштар ступени зиккурата ведут вниз, а не вверх

 

Иштар, богиня любви и плодородия, известна также своим нисхождением в преисподнюю. Попав в нижний мир. Причин, побудивших ее на этот поступок ни в одном источнике не указывается. Она требует у привратника открыть ей ворота, иначе она сломает все двери и поднимет мертвецов. Страж докладывает об этом царице подземного мира Эрешкигаль, сестре Иштар, и та впадает в сильнейший гнев, но все же соглашается, пропустить сестру. Страж проводит Иштар, согласно древним законам, через семь врат, снимая под каждым из них с нее одно украшение (магический амулет).

В конце пути Иштар нагая и беззащитная предстает перед Эрешкигаль, и сестра велит наслать на нее шестьдесят болезней и запереть во дворце. Тем временем земля осиротела без Иштар, жизнь застыла, прекратилось размножение.

Тогда боги посылают в подземный мир с посланием евнуха Аснамира. Тот хоть и разъярил своим видом Эрешкигаль, но отказать она ему не смогла, и приказала оживить сестру живой водой, напомнив ей при этом, что следуя законам царства мертвых освобождённая Иштар обязана предоставить себе замену. Иштар вновь проходит через, возвращая отобранные украшения и обретая прежнюю силу. А ее заменой в нижнем мире становится ее возлюбленный – бог Таммуз. Неизвестно, как сам Таммуз отнесся к выбранному продолжению этого сюжета. Таммуз или Фаммуз – сиро-финикийское божество, тождественное с Адонисом из древнегреческой мифологии.

И то и другое, Иштар и Таммуз, – образ умирающей и воскресающей природы. К Иштар перешли функции шумерской Инанны, богине, широко почитавшейся на территории аккадского Двуречья, в том числе и в шумерских городах после их завоевания Саргоном, и в сопредельных с Шумеро-аккадским царством землях – в Мари, в Эбле, где она почиталась под именем Аштар и имела свой храм. Вместе с функциями Инанны к Иштар перешли и связанные с шумерской богиней предания и ритуалы. Но это было не слепое заимствование. Аккадские поэты внесли свое понимание в общий для двух народов мотив нисхождения богини в подземный мир.

Ворота Иштар – памятник мирового значения

В самом центре Берлина – в десяти минутах ходьбы от Бранденбургских ворот, на «Острове музеев» расположен знаменитый Пергамон-музей, названный так в честь находящегося в нем алтаря Зевса из города Пергам. Это самый посещаемый музей немецкой столицы; в прошлом году в нем побывало около 660 тысяч человек. В Пергамоне представлены шедевры древневосточного и греко-римского искусства. Мраморный алтарь, давший имя музею, был в XIX веке по частям вывезен из Османской империи в Германию, где его собрали заново. Но, кроме «восьмого чуда света», здесь есть еще один очень интересный экспонат – Ворота Иштар и прилегающий к ним участок Дороги Мардука из Вавилона VI века до н.э.

История о трех халдейских загадках почерпнута из книги В. Пелевина «Генерация П»: «Три халдейские загадки (Три загадки Иштар).

По преданию, путь к богатству и совершенной мудрости (а вавилоняне не разделяли этих двух понятий – они скорее считались взаимно переходящими друг в друга и рассматривались как различные аспекты одного и того же) лежал через сексуальный союз с золотым идолом богини, который находился в верхней комнате зиккурата.

Считалось, что дух Иштар в определенные часы сходит на этого идола. Предание о трех халдейских загадках гласило, что мужем богини мог стать любой житель Вавилона. Для этого он должен был выпить особый напиток и взойти на ее зиккурат. Неизвестно, что имелось в виду: церемониальное восхождение на реальную постройку в Вавилоне или галлюцинаторный опыт. В пользу второго предположения говорит то, что напиток приготовлялся по довольно экзотическому рецепту: в него входили “моча красного осла” (возможно, традиционная в древней алхимии киноварь) и “небесные грибы” (видимо, мухомор).

Чтобы быть пропущенным к идолу, необходимо было разгадать три загадки Иштар.

Эти загадки до нас не дошли. Отметим спорную точку зрения Клода Греко, который полагает, что речь идет о наборе ритмизованных и весьма полисемантичных из-за своей омонимичности заклинаний на древнеаккадском, найденных на раскопках в Ниневии. Гораздо более убедительной, однако, представляется версия, основанная сразу на нескольких источниках: три загадки Иштар представляли собой три символических объекта, которые вручались вавилонянину, пожелавшему стать халдеем. Он должен был разъяснить значение этих предметов (мотив символического послания). На спиральном подъеме на зиккурат было три заставы, где будущему халдею по очереди предлагались эти объекты.

Того, кто решал хоть одну загадку неправильно, стража заставы сталкивала с зиккурата вниз, что означало верную гибель.

Желающих пройти испытание было множество, так как ответы, которые позволяли пройти на вершину зиккурата и соединиться с богиней, все же существовали. Раз в несколько десятилетий это кому-нибудь удавалось. Человек, который решал все три загадки правильно, всходил на вершину и встречался с богиней, после чего становился посвященным халдеем и ее ритуальным земным мужем (возможно, таких было несколько). Есть основания выводить позднейший культ Кибелы, основанный на ритуальном самооскоплении, из культа Иштар: самооскопление, видимо, играло роль замещающей жертвы.

По одной из версий, ответы на три загадки Иштар существовали и в письменном виде.

В специальных местах в Вавилоне продавались запечатанные таблички с ответами на вопросы богини (по другой версии, речь идет о магической печати, на которой были вырезаны ответы). Изготовлением этих табличек и торговлей ими занимались жрецы главного храма Энкиду – бога-покровителя Лотереи. Считалось, что через посредничество Энкиду богиня выбирает себе очередного мужа. Это снимало хорошо известный древним вавилонянам конфликт между божественным предопределением и свободой воли. Поэтому большинство решавшихся взойти на зиккурат покупало глиняные таблички с ответами; считалось, что табличку можно распечатать, только взойдя на зиккурат.

Эта практика и называлось Великой Лотереей (устоявшийся термин, которым мы обязаны многочисленным беллетристам, вдохновлявшимся этой легендой, но более точный вариант перевода – “Игра Без Названия”). В ней существовали только выигрыш и смерть, так что в определенном смысле она была беспроигрышной. Некоторые смельчаки решались подниматься на зиккурат без таблички с подсказкой.

По другой трактовке, три вопроса Иштар были не загадками, а, скорее, символическими ориентирами, указывающими на определенные жизненные ситуации. Вавилонянин должен был пройти их и представить доказательства своей мудрости страже зиккурата, что делало возможным встречу с богиней. В этом случае вышеописанный подъем на зиккурат представляется скорее метафорой. Бытовало поверье, что ответы на три вопроса Иштар скрыты в словах “рыночных песен”, которые поют каждый день на вавилонском базаре, но сведений об этих песнях или этом обычае не сохранилось”.

Слуга и посланник Эрешкигаль – Намтар – (“Отрезатель”, “Режущий”) – персонификация Судьбы, режущей человеческие судьбы, послушный слову хозяйки, в некоторых мифах – ее сын от Энлиля.

ЛЕВ ЕГИПТА

Знак льва – это указатель времени и в Египте и в Андах. Согласно религиозным воззрения и Египта и Перу умерший человек, чтобы найти дорогу в потусторонний мир пользовался услугами проводников – черных собак (у перуанцев) и собакоголовых Анубиса и Упуата (у египтян)… Большинство построек Священной долины в Перу и в Тиауанако не имеют до сих пор четкого определения когда, кем и как были сооружены. Ортодоксальная наука приписывает их культуре инков, тем самым, продолжая их мудрую политику присвоения знаний и технологий предшественников. Логика археологов проста – инки сами заявили, что они построили то-то и то-то, значит так и было, правда, на вопрос как они это сделали ответа у них не было, но это не важно, сделали и все…

Официальная хронология Египта основывается на “Истории Египта”, написанной жрецом Мането. Его хронология подтверждается находками археологов и считается довольно точной. Такие документы как Палермский камень, Туринский папирус и Абидосский список царей не расходятся в значительной мере с мнением Мането. Он делит история на три больших периода. Сначала Египтом правили нетеру (боги), окончанием эпохи стало правление Гора, сына Осириса и Изиды. Эпоха “Последователей Гора”. Она занимает несколько веков от Гора до фараона-человека по имени Менес. Другие его имена: Нармер и царь Скорпион. Он объединил земли Верхнего и Нижнего Египта. Династическая эпоха. В это время правили фараоны, чьи имена перечислены в так называемых “династических” списках. Первую книгу о египетской грамматике написал Шампольон.

Вершины своего могущества Египет достиг именно при восемнадцатой династии. Ее фараонов мы знаем по именам со школьной скамьи, хотя разделяет нас больше трех с половиной тысячелетий. Основал династию правитель города Фивы по имени Яхмос. Он прославился тем, что изгнал из страны гиксосов – азиатских завоевателей, угнетавших Египет полтора столетия. Яхмос собрал ополчение, к которому примкнули десятки тысяч египтян, и преследовал разбитых гиксосов до самой Сирии – несколько недель пути. Когда он вернулся домой, никто не посмел спорить с тем, что он – самый достойный кандидат в фараоны. Яхмос I стал фараоном, а город Фивы он сделал столицей всего Египта.

Современная египтология относит начало правления Менеса к 3000 г. до н. э., и считает его первым историческим правителем. Все, что было до него считается выдумкой, все, что после – исторической правдой, не смотря на то, что информация взята из того же источника. Лишь часть информации Мането, жившего где-то в IV–III вв. до н. э., признается египтологами, все остальное считается выдумкой. Майкл Бейджент в книге “Запретная археология” упомянул первого “алхимика” некоего Болоса из египетского Мендеса, умершего около 250 г. до н. э., Болос был увлечен эзотерическими традициями Египта и в особенности магической составляющей. Он говорит о заклинаниях с использованием звука и специального контроля дыхания. Подобно Пифагору он проповедовал теорию переселения душ. Все это несколько напоминает тибетские традиции…

Нил в Египте и Урубамба (Вилькамайу) в Перу были для своих народов отражением Млечного Пути на Земле. В дни летнего солнцестояния на берегах Нила и Урубамбы проходили различные обрядовые действа. В обоих регионах эти мероприятия возглавлялись потомками богов – Инкой или Фараоном. И в обоих местах все происходило посреди циклопических построек и неведомой древности. Поселения и отдельные архитектурные комплексы долин Нила и Урубамбы, по представлению их обитателей тоже являлись отражением небесных объектов. Вообще философия дуализма, выражающаяся в том, что все в мире имеет пару (день – ночь, мужчина – женщина, верх – низ и т.д.) характерна для древних обитателей обеих регионов.

Есть предание, что под Сфинксом в Гизе существуют подземные помещения, где спрятаны сокровища материальные и духовные. В Перу недалеко от Куско находится крепость Саксайуаман, от которой ведут подземные ходы в город и к другим таинственным объектам. Куско в плане имеет форму пумы (американского льва), а крепость сделана в виде головы этого льва. Предполагают же, что сфинкс в Гизе тоже когда-то имел голову льва, то есть был фигурой настоящего льва, а не какого-то мифического существа толи с головой фараона, толи с головой бога. Наличие такого символа как лев, позволяет датировать постройки согласно прецессии земной оси. То есть все это было построено в эпоху Льва – более 10 тысяч лет назад. Пума у инков считалось священным животным символом земного мира. И вот еще про львов читаем у Хэнкока: “Обращенный на восток “Утес Льва” на Титикаке интересен особенно в связи с историей творения нынешней эпохи земли. Вспомним, что Великий Сфинкс в Египте представляет собой изображение Льва, высеченное из скалы на плато Гизы. Согласно надписи, сделанной в эпоху XVIII династии на стеле, установленной между его лапами, он отмечает “Славное место Первого Времени” – то есть начало нынешней эпохи.”

ИЕРОГЛИФЫ В АВСТРАЛИИ

В Национальном парке Нового Южного Уэльса (Австралия), в 100 км к северу от Сиднея (т.е. на Тихоокеанском побережье!), находятся петроглифы. Эти загадочные петроглифы на протяжении почти ста лет были лишь частью местного фольклора, родившегося из рассказов очевидцев, лишь случайно их находивших. Петроглифы находятся в расселине скалы в форме своеобразной “трещины” шириной от двух до четырех метров. Эта расселина, благодаря скату скалы, как бы накрывающему сверху узкий конец “трещины”, чем-то похожа на пещеру. Кустарник, густо растущий у входа в эту “пещеру”, скрывает как ее саму, так и петроглифы на ее стенках от взгляда случайного путешественника.

В самом факте существования иероглифов не было бы ничего удивительного, если бы это не были… древнеегипетские иероглифы!.. Обе стены расселины густо усеяны более чем 250 иероглифами. Время почти стерло иероглифы на южной стене, но на северной они хорошо сохранились. Часть из них легко узнаваема, а часть – нет. Причем относятся они к самой архаичной из известных нам форм древнеегипетской письменности, которая имеет много сходств с древнешумерской письменностью и с которой знакомо лишь очень ограниченное количество египтологов, поэтому даже появилась версия, что данные иероглифы являются современной подделкой.

Однако один из старейших египтологов Рей Джонсон, который принимал участие в переводах наиболее древних текстов из коллекции Каирского Музея истории, смог перевести “австралийские” надписи. Как выяснилось, на стенах зафиксирована хроника древних египетских путешественников, потерпевших кораблекрушение “на странной и враждебной земле”, а также сведения о преждевременной кончине их предводителя. Как следует из надписи, этот руководитель принадлежал к царскому роду и являлся сыном фараона Джедефра, сменившего во главе Египта широко известного нам фараона Хуфу (Хеопса), которому официальная академическая история приписывает строительство Великой пирамиды на плато Гиза. Подробно описана как сама гибель предводителя от змеиного яда, так и ритуал его погребения.

По сути, данная надпись является подтверждением факта того, что уже 5 тысяч лет назад (!!!) наши предки совершали длительные морские путешествия (пусть и вдоль материка и от острова к острову, как это можно сделать в случае путешествия из Египта на восточное побережье Австралии), а, следовательно, и имели соответствующие совершенные суда.

ЕГИПЕТСКИЕ ИЕРОГЛИФЫ В АВСТРАЛИИ
ПЕРСИЯ – ФРУКТОВЫЙ РАЙ

Знаменитый Вавилон с его садами Семирамиды расположен на территории современного Ирака. Правили им, в том числе, персы, возвысившиеся после побед Кира.

До Агар-Гуфа, местечка в тридцати километрах от Багдада, мы добрались без приключений, и я смог насладиться невероятным зрелищем. Сначала над плоской степью появилось облачко дыма. Оно росло, клубилось, напоминая замерший взрыв. И чем ближе мы подъезжали, тем более этот фантом наполнялся материей и превращался в нечто совершенно невообразимое.

Посреди гладкой степи возвышался пологий холм, сложенный из обломков сырцового кирпича. На нем лежал неровный глиняный шар высотой в двадцатиэтажный дом. Ветры и дожди, хоть и редкие в этих местах, размыли и развеяли основание зиккурата.

Мы с Аднаном поднялись по склону холма, изрезанному траншеями и ямами — здесь когда-то работали археологи. Если добраться до глиняного шара, то увидишь, как из нависшего над тобой тела башни торчат пальмовые листья и полосы черного битума – для крепости строители прокладывали битумом и листьями слои плоского кирпича. Теперь известно, что этот зиккурат, подобный вавилонскому, но несколько уступавший ему размерами, был построен за полторы тысячи лет до нашей эры в городе Дур-Каригалзу, столице государства касситов.

Аднан пошел вниз к машине, археологические скитания по жаре ему надоели, а я решил обойти зиккурат. И не зря. Я отыскал основание и несколько ступеней каменной лестницы, которая когда-то вела на вершину зиккурата.

Когда я вернулся к машине, Аднан был сердит. На меня, хотя машина не заводилась по каким-то своим резонам. И пока он боролся с зажиганием (к счастью, на этот раз машина нас пожалела), я размышлял о сходстве путей, по которым идет развитие идей зодчих во всем мире. Ведь зиккурат – это та же пирамида Джосера в Египте, изобретенная, по преданию, Имхотепом. Она старше любого из зиккуратов, и не исключено, что жители Месопотамии оценили египетскую идею и воплотили ее у себя. А вот народы Латинской Америки, которые строили свои ступенчатые храмы, в Египте побывать не смогли. Но их храмы буквально слепки с зиккуратов. Впрочем, что мы знаем о путешествиях две тысячи лет назад? А если и в самом деле, как полагают некоторые ученые, финикийские корабли из Карфагена или Библа могли попасть в Америку? Ничего в этом сказочного нет.

Из впечатлений о посещении Вавилона

Иран (до 1932 г. Персия, с 1978 г. – Исламская Республика Иран) – государство на юго-западе Азии. Столица – город Тегеран.

На северо-западе граничит с Азербайджаном, Арменией и Турцией, на западе – с Ираком, на севере – с Туркменистаном, на востоке – с Афганистаном и Пакистаном. С севера Иран омывается Каспийским морем, с юга – Персидским заливом.

Иран является одним из древнейших государств в мире. Первое протоиранское государство Элам возникло в Хузестане в III тысячелетии до н. э. Персидская империя при Дарии I Ахемениде простиралась уже от Греции и Киренаики до реки Инд. Иран – родина первой в мире монотеистической религии – зороастризма (маздеизм), во многом повлиявшего на формирование иудаизма, христианства и ислама. К XVI веку государственной религией Персии становится ислам. Современное название Иран принято в 1935 году.

Персидские правители основатель династии Ахменидов Кир, Дарий и другие были веротерпимы к религиям покоренных ими народов.

Одним из достижений Дария I стало строительство «царской дороги» протяженностью 2700 километров! Если учесть, что большая часть ее прокладывалась в горной и полупустынной местности, а ездить по ней на лошадях можно было на хорошей скорости, если принять во внимание, что дорогу обслуживало 111 почтовых станций (!), а надлежащая охрана была призвана защищать путников от грабителей, можно не сомневаться, что налоги с завоеванных стран, собираемые сатрапами (наместники царя в областях), поступали в казну без каких-либо задержек. Остатки этого пути сохранились и поныне, а если следовать этим маршрутом из Тегерана в Багдад, то в одной из горных областей можно увидеть огромную скалу, на которой на высоте около 152 метров от земли и сегодня отчетливо видны и огромные барельефы, и какие-то письмена.

Бехистунская надпись – трехъязычный (древнеперсидский, эламский и вавилонский) клинописный текст на скале Бехистун (Бисутун), юго-западнее Экбатан между Керманшахом и Хамаданом в Иране, высеченный по приказу царя Дария I о событиях 523–521 гг. до н. э. Самая важная по значению из надписей ахеменидских царей и один из крупнейших эпиграфических памятников вообще. Прочтен (в основном) в 30–40-х гг. XIX века английским ученым Г. К. Роулинсоном, что положило начало дешифровке клинописного письма многих народов древнего Востока, см. ВИКИ | ЕЩЕ.

С барельефами ученые давно разобрались. Безвестные каменотесы изваяли в камне девять плененных царей со связанными руками и петлей на шее, а десятого Дарий попирает ногами. Благодаря стараниям английского археолога Г. Роулинсона удалось там же прочитать древнюю надпись, сделанную на трех языках – персидском, эламском и вавилонском. На «странице» каменной книги шириной 8 метров и высотой 18 метров повествуется о деяниях Дария I, о его становлении как царя, не привыкшего сомневаться в своей правоте. Вот некоторые выдержки из текста, где сообщается о строительстве одного из его роскошных дворцов: «Дерево горного кедра из Ливана доставлено… Золото из Сард и из Бактрии доставлено… Самоцвет ляпис-лазурь и сердолик из Согдианы доставлен. Самоцвет синий – бирюза из Хорезма доставлен… Серебро и бронза из Египта доставлены. Мастера, которые тесали камень, были мидийцы и ионяне. Золотых дел мастера были мидяне и египтяне. Люди, которые делали кирпич – они были вавилоняне…» Уже одной этой записи достаточно для того, чтобы понять, каким богатым и могущественным был ахеменидский царь Дарий I. Неудивительно, что сказочно богатой была и столица древней Персии – Парсастахра, которую греки называли Персеполисом.

Цари понимали, что веротерпение – залог их спокойной и благополучной жизни. В то же время они поклонялись священному огню, который возжигался в специально построенных башнях-святилищах – чортагах (отсюда и пошло название – чертоги царские). Древние персы поклонялись также крылатым быкам, лошадям, некоторым диким животным. Кроме того, они верили в существование мифического шаха Джамшида, обладавшего удивительной чашей, в которой отражалось все, что происходит в мире. В любой момент сын владыки солнечной сферы шах Джамшид мог узнать, что где происходит, стоило только заглянуть в чашу. Неудивительно, что с таким «багажом» персам удалось многого достичь как в науке, так и в искусстве, не говоря уже о государственном правлении. Покоритель пространств – Кир – пал от руки таинственных массагетов, подданых царицы Томирис | еще).

ВЕЛИКИЕ ПИРАМИДЫ МИРА

Зиккурат (от вавилонского слова sigguratu – вершина, в том числе вершина горы) –многоступенчатое культовое сооружение в древнем Междуречье, типичное для шумерской, ассирийской, вавилонской и эламской архитектуры.

Зиккурат представляет собой башню из поставленных друг на друга параллелепипедов или усеченных пирамид от 3 у Шумеров до 7 у Вавилонян, не имевших интерьера (исключение – верхний объем, в котором находилось святилище). Террасы зиккурата, окрашенные в разные цвета, соединялись лестницами или пандусами, стены членились прямоугольными нишами. Внутри стен, поддерживающих платформы (параллелепипеды) находилось множество комнат, где жили священники и работники храма. Великий зиккурат в Уре (зиккурат Этеменнигуру) – наиболее сохранившийся храмовый комплекс Древнего Междуречья. Возведен в XXI веке до н. э. (около 2047 до н.э.) в городе Уре местными царями Ур-Намму и Шульги, как и святилище Экишнугаль, в честь лунного божества Нанна. Впоследствии не раз перестраивался, был значительно расширен нововавилонским царем Набонидом.

Зиккурат в Уре имеет основание 64 на 46 м, высоту до 30 м.

Рядом со ступенчатой башней-зиккуратом обычно находился храм, который являлся не молитвенным сооружением как таковым, а жилищем бога. Шумерийцы, а вслед за ними и ассирийцы с вавилонянами, поклонялись своим богам на вершинах гор и, сохранив эту традицию после переселения в низменное двуречье, возводили горы-насыпи, соединявшие небо и землю. Материалом для постройки зиккуратов служил кирпич-сырец, дополнительно укрепленный слоями тростника, снаружи облицовывались обожженным кирпичом. Дожди и ветры разрушали эти сооружения, их периодически подновляли и восстанавливали, поэтому они со временем становились выше и больше по размерам, менялась и их конструкция. Шумерийцы строили их трехступенчатыми в честь верховной троицы своего пантеона – бога воздуха Энлиля, бога вод Энки и бога неба Ану. Вавилонские зиккураты были уже семиступенчатыми и окрашивались в символические цвета планет (в древнем Вавилоне было известно пять планет), черный (Сатурн, Нинурта), белый (Меркурий, Набу), пурпурный (Венера, Иштар), синий (Юпитер, Мардук), ярко-красный (Марс, Нергал), серебряный (Луна, Син) и золотой (Солнце, Шамаш).

ПИРАМИДЫ МАЙЯ

Традиционной науке до сих пор не известно, как и почему на разных континентах, в разных странах древние строители ушедших цивилизаций возводили почти одинаковые сооружения – пирамиды. На полуострове Юкатан, среди холмистой сельвы – низкорослых латиноамериканских джунглей – скрыты исторические памятники народа майя. По уровню цивилизации его можно сравнить с Древним Египтом или Китаем. Майя занимались орошаемым земледелием, имели совершенный календарь, владели завидными для своего времени познаниями в области астрономии, математики, медицины.

Город Чичен Ица – один из самых значительных городов древних майя, в северной части полуострова Юкатан Мексика в 1,5 км к югу от небольшого городка Писте. «Чичен Ица» можно перевести как «Место у колодца племени Ица» или «Рот колодца колдунов воды» или «Устье колодцев ицев». Древний город занимает территорию свыше 6 кв. км. Самое знаменитое сооружение Чичен Ицы – пирамида Кукулькана – это почти 30-метровая девятиступенчатая пирамида с квадратным основанием длиной в 55,5 м. Пирамида ориентирована по сторонам света. По боковым граням поднимаются четыре широких лестницы, каждая из которых имеет по 91 ступени. Лестница, идущая по северной стороне пирамиды, внизу по краям оканчивается змеиными головами, которые являются символом Кукулькана.

Если рассматривать платформу на вершине пирамиды, на которой стоит храм, как еще одну ступень, то всего в пирамиде 91?4+1, то есть 365 ступеней, по числу дней в году. Считается, что пирамида выполняла функцию календаря. Ежегодно в дни осеннего и весеннего равноденствия можно наблюдать уникальный эффект «пернатого змея» – тень ступенчатых ребер пирамиды падает на одну из лестниц. При этом создается впечатление, что по ней сползает вниз змей Кукулькан. По узкой лестнице можно попасть внутрь раннего храма, где вы можно увидеть короля Кукулькан и трон Ягуара, окрашенного в красный цвет и инкрустированного нефритовыми пятнами.

Платформа ягуаров и орлов расположена к северо-западу от пирамиды Кукулькана. Храм имеет квадратную форму с четырьмя лестницами, украшенными головами змей. Платформу назвали так по рельефным изображениям на ее стенах где выгравированы изображения ягуаров и орлов пожирающих человеческие сердца – таким образом были представлены жертвоприношения.

Еще одно сооружение Цомпантли представляет собой Т-образную платформу, расположенную рядом с Платформой ягуаров и орлов, но превосходящую ее размерами. Особенностью Цомпантли является то, что стены этой платформы покрыты рельефными изображениями черепов. Именно поэтому это сооружение и было названо Храмом черепов. Каменная стена цомпантли являлась основанием для деревянных рам, на которых вешались черепа убитых врагов и принесенных в жертву!

Еще одной достопримечательностью города Чичен Ица является «храм воинов», размещенный на невысокой четырехступенчатой пирамиде с одной лестницей. Бесчисленные колонны перед храмом изображают тольтекских воинов. Здесь была обнаружена и мужская фигура, изображенная в несколько необычной позе: полулежа, приподнявшись на локтях, с высоко поднятой головой. Каменный истукан, переживший храм и город, смотрит так же горделиво и насмешливо, как и 1000 лет назад. Это Чак Мооль – божество воинственного племени тольтеков: он держит в руках большое блюдо, в котором, когда то возжигали священный огонь или клали в него подношения богам.

К северу от центральной пирамиды расположен «Священный сенот» или, как его еще называют, «Колодец смерти» с диаметром 60 м и глубиной до 50 м. Сюда жрецы майя сбрасывали людей, приносимых в жертву богам. Эль-Караколь («Улитка» или обсерватория) была построена в течение нескольких веков. Башня была использована для астрономии – ее окна были приведены в соответствие с четырьмя сторонами света и с положением заходящего солнца в дни равноденствия.

В Чичен Ица также находилось 7 «стадионов»-площадок для игры в мяч. Длина самой большой площадки составляет порядка 150 м. Внимание сразу же привлекают необычные резные кольца, в которые, по всей видимости, и кидали мяч. Состав команд, размеры поля, высота кольца, по все видимости, варьировались. Но если говорить о самых больших площадках, то задействовано было около семи человек, которые должны были пробросить через каменные кольца, установленные на высоте около 8 м, каучуковый мяч весом до 4 кг. При этом касаться его можно было лишь головой, локтями, плечами, бедрами и другими частями тела, лишь бы не руками и ногами. Проигравших приносили в жертву, порой даже не просто убивали, а отрубали головы и нанизывали на специальные шесты. Если таким образом поступали с участниками, остается лишь догадываться, какая участь ждала их тренера за провал!

Город Чичен Ица был основан вероятно, в VII в. н. э. Его останки могут быть условно разделены на две группы. В первую включены строения, датируемые VI–VII вв. н. э. и относящиеся к периоду культуры майя. Вторая группа зданий относится к периоду тольтеков X–XI вв. н. э., которые завоевали город в X веке. В середине XI века город Чичен Ица стал столицей тольтекского государства, но в 1178 была разгромлена объединенным войском трех городов-государств – Майяпана, Ушмаля и Ицмаля, которое возглавлял Хунак Кеель.

После 1194 года загадочный город окончательно опустел. Точные данные о том, что послужило тому причиной, отсутствуют. Ко времени испанских завоеваний (середина XVI векa) город Чичен Ица представляла собой развалины. Политика испанских завоевателей, вторгшихся на территорию Мексики, включала в себя сожжение манускриптов и убийство священнослужителей народа майя. Таким образом, большая часть его таинственной истории была утеряна.

Пирамида Кукулькана

Наиболее известное строение на территории города, ставшее фактически символом Чичен-Ица, – ступенчатая пирамида Кукулькана (ее также часто называют Эль Кастильо). Она имеет в основании квадрат, а высота ее достигает 23 м. В дни весеннего и осеннего равноденствий (20 марта и 21 сентября) приблизительно в три часа дня лучи солнца освещают западную балюстраду главной лестницы пирамиды таким образом, что свет и тень об­разуют изображение семи равнобедренных треугольников, составляющих, в свою очередь, тело тридцатисемиметровой змеи, «ползущей» по мере передвижения солнца к собственной голове, вырезанной в основании лестницы. Это зрелище настолько таинственно, что в каждый день осеннего или весеннего равноденствия здесь собираются тысячи людей, чтобы увидеть все своими глазами.

Образ Пернатого змея («змея, покрытого зелеными перьями») часто встречается в мифологии майя и тольтеков и может быть связан с какими-либо сельскохозяйственными ритуалами. Существует также тольтекская легенда о том, что в 987 г. Кецалькоатль потерпел поражение и был изгнан на плоту, состоящем из змей. Легенда майя говорит о том, что в том же году вождь по имени Кукулькан («змей, покрытый перьями кецаля») прибыл в эту местность и сделал Чичен-Ица своей столицей. Ко времени испанского завоевания (XVI в.) в образе Кукулькана слились представления о нем майя как одном из главных божеств и легенды об историческом лице, предводителе тольтеков, вторгшемся в X в. на Юкатан.

Пирамида Кукулькана посвящена также культу Солнца. Каждая из четырех лестниц состоит из 91 ступени, их общее число равняется 364, а вместе с платформой, лежащей в основании, полная сумма ступеней составляет 365, что соответствует количеству дней в году. Боковые части строения также разделены на восемнадцать секций в соответствии с числом месяцев в календаре майя. В основании пирамиды лежит другая, более ранняя, конструкция (этот случай является ярким примером древ­ней традиции создания одного монумента на месте, а иногда и просто поверх предыдущего). В вестибюле раннего храма расположено изображение Чак-Моола (Красного когтя), служившего посланником богов. В самом храме было обнаружено устрашающее изваяние ягуара, выступавшее, очевидно, в качестве трона священнослужителей.

Другое строение, также связанное с астрономией, Эль Караколь («Раковина улитки»), представляет собой огром­ную обсерваторию, которая, очевидно, использовалась так же как культовое сооружение. Окна в ее каменном куполе расположены таким образом, что в определенное время из них можно увидеть определенные звезды.

В Мексике находятся десятки пирамид. Одна из них – пирамида волшебника. По преданию карлик волшебник сумел расколоть головою орех, о который его соперник разбил себе голову. Он же выстроил за одну ночь пирамиду со скругленными краями.
Весной 1945 года, незадолго до окончания Второй мировой войны, один американский летчик, пролетая над северо-западной частью Китая, примерно в полусотне километров от города Сиань в провинции Шэньси, заметил с высоты нечто необыкновенное – огромную пирамиду. Сделанные им снимки были засекречены и исчезли в военных архивах. Высоту сфотографированного пирамидального сооружения оценили тогда по снимкам в 300 метров (вдвое выше пирамиды Хеопса, крупнейшей из египетских пирамид), а длину стороны основания – в 500 метров.

Доступ иностранцам в этот район долгое время был закрыт, так что до недавних пор о китайских пирамидах было известно только по слухам. Однако в 1994 году там смогли побывать два исследователя – немец и австриец. При обследовании на местности выяснилось, что оценки размеров были сильно завышены, зато пирамид здесь много. Одна из пирамид, изученных европейцами, имеет в высоту всего 60 метров, другая – 80. Меньшая густо засажена соснами, видимо, для маскировки. Взобравшись на вершину более крупной пирамиды, исследователи нашли там нечто вроде небольшого кратера. По-видимому, сооружение имеет ряд внутренних помещений, и потолок некоторых из них, находящихся у самой вершины, со временем провалился, образовав яму. С вершины ученые насчитали в окрестности не менее 17 других пирамидальных сооружений, разбросанных на равнине поодиночке и парами.

ПИРАМИДЫ В ЯПОНИИ

Древние четырехугольные пирамиды разных размеров находятся не только в Египте или Южной Америке, известны они и в Бирме, Китае и Корее. Но наиболее, наверное, интересным открытием такого рода следует считать пирамиду и удивительный храмовый комплекс, обнаруженный на морском дне у небольшого острова Йонагуни в самой западной части японского архипелага.

Элементы конструкции, казалось, имели совершенно определенную архитектурную схему, напоминающую чем-то ступенчатые пирамиды Древнего Шумера.

… Споры о “естественности образований” могли бы тянуться еще очень долго, но не так давно аквалангисты нашли стопроцентное подтверждение искусственного происхождения японского подводного комплекса. Группа исследователей, посланная телекомпанией Discovery Channel, обнаружила на дне скульптурное изображение человеческой головы, причем в характерном головном уборе из перьев, явно перекликающемся с аналогичными скульптурами Центральной Америки…

Японский пирнальник Кихакиро Аратаке обнаружил близ японского острова Йонагуни странный подводный храмный комплекс. Это заинтересовало ученых.

Они начали исследовать руины, которые состояли из каменных плит. Длина одной из пирамид 55 метров, ширина – 20. Стоит она на глубине 25 метров. Все найдено восемь мест с разными подводными сооружениями. Ученые считают, что найдены пирамиды древниши от египетских – им не менее десяти тысяч лет. Тогда уровень воды в Мировом океане был на 40 метров более низкий от нынешнего.

ПЛАНЕТА НИБИРУ

Прилет или пролет богов на небесной ладье

 

Со школьной скамьи всем нам известно, что в Солнечной системе существует девять планет, включая нашу матушку Землю. В учебниках по астрономии и на лекциях в планетарии подробно рассказывается об этих относительно хорошо изученных небесных телах, на которых отсутствуют – за исключением нашей Голубой планеты – привычные нам формы органической жизни.

Эти планеты были известны людям тысячи лет назад. О них знали древние шумеры и персы, египтяне и ассирийцы, инки и китайцы. Сказания и легенды о девяти небесных богах бытуют даже у первобытных племен Африки, Австралии, а также у коренных народов Крайнего Севера, Сибири, Камчатки и Северной Америки. Однако практически в каждой древней культуре также сохранились упоминания о некоем небесном теле, сыгравшем в жизни ее представителей особую роль, – создав человека и весь нынешний вселенский Вавилон.

Божественная Нибиру. У народов Северного Китая сохранились предания о том, как однажды высоко в небе появилась большая золотая ладья, с которой на землю спустился бог по имени Энлиль. Этот бог построил город мудрости и дал посвященным людям тайные знания. Схожие по содержанию, но гораздо более древние легенды бытовали и у шумеров, наделявших десятую планету, которую они называли Нибиру, божественными свойствами. По одной из версий, бог Двуречья Мардук был не богом, а человеком, получившим власть, благодаря пришельцам, кстати, незадолго до прихода Александра Македонского, который мог бы коснуться его гробницы.

Информация небесных пришельцах содержится в клинописных надписях на глиняных табличках, которые в большом количестве были найдены на территории современного Ирака. Астрономы XIX–XX веков, знавшие об этих и подобных им легендах, выдвигали различные гипотезы, касавшиеся таинственной планеты. Одни ученые утверждали, что древние люди обожествляли некую комету, время от времени пролетавшую на незначительном от Земли расстоянии. Другие предполагали, что тысячелетия назад в Солнечной системе действительно существовала десятая планета, которая по неизвестным причинам погибла, породив большое количество метеоритов.

Еще из одной версии следовало, что долгое время вокруг Солнца вращалось некое большое космическое тело, которое из-за своей неустойчивой траектории, либо под воздействием внешних гравитационных сил покинуло Солнечную систему и ушло в дальний космос.

Необычные гипотезы. Начиная со второй половины XX века многие ученые стали склоняться к тому, что загадочная десятая планета все же существует, появляясь рядом с Землей через длительные временные промежутки.

Так, новосибирский ученый Сергей Федорович Карнаухов, работавший с 1979 по 1985 годы сотрудником Зеленчукской астрофизической обсерватории, в середине 80–х годов XX века выдвинул гипотезу о существовании в Солнечной системе десятой планеты, имеющей очень вытянутую орбиту. Несколькими годами позже предположение советского астрофизика было закреплено оригинальной теорией американского ученого Захария Ситчина, который также заявил о том, что в нашей звездной системе имеется еще одна крупная планета, весьма редко появляющаяся на небосклоне, которая оказала решающее значение на развитие человечества.

Неземные гены земных людей. Теорию Ситчина очень своеобразно продолжил его коллега Алан Элфорд, считающий, что на этой таинственной планете уже сотни тысяч лет назад существовала высокоразвитая техногенная цивилизация. По мнению А. Элфорда, ее представители впервые ступили на Землю 272 183 года назад, когда десятая планета в очередной раз оказалась на близком расстоянии от нас расстоянии, и… создали первых людей, которых рассматривали в качестве эффективной рабочей силы.

В подтверждение своей гипотезы А. Элфорд привел выводы ученых–генетиков, согласно которым человеческий геном, состоящий из 30–35 тысяч генов, на 99% совпадает с геномом шимпанзе и на 70 % с геномом мыши. Кроме этого, некоторые человеческие гены идентичны генам беспозвоночных животных, растений, дрожжей и плесени. Но у современного человека есть еще 223 гена, которых больше нет ни у одного живого существа на Земле, и которые, соответственно, не могли появиться в результате земной эволюции. Согласно исследованиям и предположениям А. Элфорда, через 18 тысяч лет после своего первого посещения Земли пришельцы построили в Двуречье первый город – Эриду, память о котором до сих пор сохраняется в древних легендах…

Изображение датировано примерно 6000 годом до н.э. Расположена в Тассили, Пустыне Сахара, Северная Африка.

Причина Всемирного потопа. На рубеже 80–90–х годов прошлого века Карнаухов с рядом ученых–единомышленников, в число которых вошел и доктор физико–математических наук Андрей Ппатонович Краев, создали математическую модель этой таинственной планеты. Результаты удивили ученых. В частности, было теоретически установлено: эта планета, имеющая у ряда народов название Нибиру (в переводе с древнешумерского означает «Пересечение»), совершает один оборот вокруг Солнца за 3600 лет. В то время как самая удаленная планета, из известных современным астрономам, – Плутон – оборачивается вокруг нашего светила за 247 лет. Предположительная масса Нибиру равна четырем массам планеты Земля, а наибольшее расстояние удаления десятой планеты от Солнца в три раза больше того, на которое от нашей звезды удаляется Плутон.

Математическая модель также показала и то, что последний раз Нибиру находилась на самом близком от Земли расстоянии, равном 12 миллионам километров, в 10 983 году до н. э. Согласно библейским источникам, именно в это время на нашей планете и случился Всемирный потоп, уничтоживший практически всю земную цивилизацию, а также большую часть животного и растительного мира. Китайское предание о золотой ладье и мудром боге Энлиле, построившем город, датируется II веком до нашей эры. Согласно же расчетам С.Ф. Карнаухова, последний раз планета Нибиру приближалась к Земле в 183 году до Рождества Христова. Любопытно и то, что во время раскопок, проводившихся китайскими археологами в гористой местности Внутреннего Алтая во второй половине 70–х годов прошлого века, были обнаружены руины древнего поселения, жители которого, как предполагается, имели очень высокую культуру.

Возможно, Город мудрости исчез с лица земли в результате катастрофического землетрясения, произошедшего в Северном Китае в III веке н. э., которое до неузнаваемости изменило ландшафт местности.

Роковая встреча с Землей. Почему же до сих пор загадочную десятую планету не удалось обнаружить ни одним из известных современной астрономии приборов? Возможно, считают С.Ф. Карнаухов и А.П. Краев, вокруг Нибиру имеется некое поле, не позволяющее радиоволнам ее выявить. А расстояние, на котором она находится в настоящее время от Земли, не дает возможности обнаружить ее современными оптическими приборами. По расчетам российских ученых, очередное появление десятой планеты рядом с нами следует ожидать лишь только в 3417 году. Однако, как следует из математической модели Карнаухова–Краева, примерно 350 лет назад загадочная планета Нибиру преодолела самую дальнюю точку своей траектории и сейчас стремительно приближается к Земле.

В случае осуществления наихудших прогнозов наша планета достаточно быстро сойдет со своей орбиты и отправится в свободное космическое путешествие, что навсегда уничтожит все органические формы жизни на Земле.

 

ГРЕЧЕСКИЙ МИР
Ф.А. Бронникова. «Гимн пифагорейцев восходящему солнцу» (1869)

ВВЕДЕНИЕ

Надо отметить, что “египетская дробь” не знает числителя. Египтяне привыкли делить одно яблоко на компанию, но не три и не пять. Распространенные две-трети еще встречаются у них, в иероглифах. Принято считать, что отношением m:n уверенно оперируют именно греки. Однако это еще не столько арифметическая дробь, сколько отношение отрезков, обозначаемых на чертежах буквами. Традиция хорошо известна, сохранившись в учебниках геометрии современной школы. В становлении греческой науки многие источники отдают пальму первенства мифическому Фалесу, затем его последователю, Пифагору, посетившему Египет и Вавилон. Пифагор вернулся и основал союз пифагорейцев.

Судьба Пифагора и его “магического” союза имела печальный конец, потому что идеология, лежавшая в основе деятельности союза, неуклонно вела его к гибели. Союз состоял главным образом из представителей аристократии, в чьих руках было сосредоточено управление городом Кротоном, и это оказывало большое влияние на политику. Между тем в Афинах и в большинстве греческих колоний вводилось демократическое управление, привлекавшее все большее число сторонников. Демократические движения стали преобладающими в Кротоне. Пифагор со своими сторонниками вынужден был бежать оттуда. Но это уже не спасло его. Будучи в городе Мерапонте, говорят, он, восьмидесятилетний старец, погиб в стычке со своими противниками.

ПИФАГОРЕЙЦЫ

Пифагорейцы известны открытием гармонии. Длины союзно звучащих струн в аккорде соизмеримы, их отношения передаются простыми пропорциями. Открытие сложило науку, относимую к высшим занятиям, достойным богов. Чувство прекрасного необъяснимо, оно иррационально и божественно. Оно покоряет всех, даже животных: медведи дергают вместо струн щепу, зачарованные своим ревом и звучанием расщепленного дерева.

Числа древних складывались из потребности обозначать количества, для счета они мало приспособлены. Греки обозначали числа буквами алфавита. У египтян ближайшее основание (укрупнение числа), это десятка (сноп). Цифры до единицы они обозначали палочками. Римляне перевернули сноп и приблизили к началу, обозначили им пятерку V. Попробуйте сложить хотя бы IX и XVI, например. Египетским писцам ставили памятники.

Из четырех предметов древности низшие арифметика и геометрия служили подготовительным знанием к восприятию высших двух: музыки и астрономии. Поисками гармонии Вселенной, звучания небесных сфер, наполнена история человечества. На этом пути впоследствии открыты законы Кеплера и Ньютона. Последователи Пифагора выделили за числами (пропорциями) некоторое организующее саму гармонию начало.

Они обожествили число и числовые отношения. В гармонично сложенном человеке все должно быть точно также подобрано, как в музыкальном инструменте. И так все, чего ни возьми. Здания, пирамиды, все должно подчиняться общей логике.

Пифагоровы тройки – целочисленные длины сторон прямоугольных треугольников, важнейшая тройка (3,4,5).

32 + 42 = 52

Их находят на глиняных таблицах – их знали цивилизации Египта, Вавилона и другие, поэтому современное название условно.

Фотография пирамиды с пропорциями (3,4,5)

Веревка, разделенная узлами на 12 частей, при соответствующем натяжении образует треугольник с прямым углом. Неизвестно точно, впрочем, чем именно пользовались древние при возведении своих колоссальных и идеальных архитектурных сооружений.

Пифагорова теорема – утверждение, что квадраты, построенные на катетах, равновелики по площади квадрату, построенному на гипотенузе. Относят к одной из самых великих теорем древности.

Поскольку в том времени нет еще ни приемлемых операций с числами, ни развитого описания числа (цифры обозначались буквами), теорема более геометрическая, оптическая, смысловая. Недаром ее любят в углубленной в созерцание Индии, где доказательство не оперирует словами (иди и смотри). Перед нами именно площади, а не квадраты чисел.

Доказательство теоремы Пифагора

ОТКРЫТИЕ НЕСОИЗМЕРИМОСТИ

Несоизмеримость диагонали и стороны квадрата – следующее открытие, его иногда приписывают Гиппасу, он же – жертва пифагорейцев.

В одних исторических заметках легкомысленный Гиппас гибнет в море, разгласив эту чужую доверенную ему тайну, в других он – сам трудолюбивый первооткрыватель, поэтому, собственно, непонятно, почему он гибнет. За то, что открыл?

Египетская традиция хранения “тайного знания”, подцепленная Пифагором в его странствиях: он должен был видеть пирамиды и колодцы без дна в них. Отсюда берет начало знание иной иррациональности, отличной от музыки, оцениваемой как разрушительная сила для той же высшей науки о гармонии.

Какая может быть гармония, когда у первого встреченного простейшего прямоугольного треугольника (1,1,2), диагональ несоотносима со стороной?

Не образует никаких пропорций, трагедия. Разумеется, это надо было еще доказать. И древние это доказательство предоставили. Аристотель и Платон (в переводе – широкоплечий): источники подобных первых сведений по вполне мифической еще истории математики. В их книгах изложена суть противоречия.

Вселенная, только что пойманная в сети пропорций, оказалась ускользающе бесконечна, ее не передать конечными отношениями.

Неприятное столкновение с действительностью

Пифагор известен пиром, на котором скушали сто быков. Гиппас – не менее знаменитым утоплением, в реке или в море. Достойная эпитафия (1,1,2).

Версии древнего преступления множатся, в некоторых намекается, что Гиппас – это сам Пифагор, поскольку он тоже погиб от гнева граждан в том самом городе, в котором проживал Гиппас из Метапонта, при печальных сопутствующих тому обстоятельствах. Позднее могли и перепутать, тем более, личности то, вполне мифические. Но где Пифагор с его обобщением (3,4,5), там и Гиппас с его упрямым (1,1,2).

АПОРИИ ЗЕНОНА

Выявленные противоречия собраны Аристотелем в так называемые апории Зенона. Ахиллес не догонит черепахи, поскольку когда он добежит до того места, где она была, она отползет. Так повторится бесконечное количество раз. Летящая стрела покоится, поскольку она не может сдвинуться.

Размышления о неисчерпаемой бесконечности оседлали философы позднейших времен. Аристотель посоветовал неисчерпаемости исчерпаться, и тем, как бы, закрыл тему.

Важно понять, зачем еще это было нужно, изобретать такие необычности. Зенон вместе с его учителем, Парменидом, – стоики. Стоики проповедовали свои идеи, стоя у стены, в портике, проходящим мимо гражданам. Чем можно занять сознание прохожего? Парадоксальность, да, но она выглядит не более, чем как изящный словесный трюк.

Мысль повернулась так, ну и что? Парменид, как, впрочем, и вся античная философия, положительно решал вопрос о жизни после смерти. Каждое мыслящее существо так или иначе занимает вопрос своего существования.

Этот предмет разбирается разумом, его суждения двойственны. Одни мысленные конструкции ведут себя как известная нам Вселенная, другие – относятся к Вселенной, существующей в воображении, но которая, что важно, вполне могла бы существовать.

Возьмем простой пример. Диагональ квадрата невозможно приблизить длиной ломаной линии. Что остается, кроме узлов в лестнице с бесконечным количеством ступенек, непонятно, но ее длина упорно равна сумме длин катетов.

При том, она сливается с диагональю. Выходит, что диагоналей – две. Вторая, которая из одних узлов, не подчиняется теореме Пифагора. Не пифагоровых треугольников не существует? Но именно их мы наблюдаем сейчас на экране дисплея. Уж у пиксельного квадрата сторона точно соотносима с диагональю, причем еще обе состоят из равного числа точек.

Как тогда быть с атомизмом? Как сочетать учение Демокрита о кусочности всего сущего с элементарными геометрическими упражнениями, противоречащими этой основе?

Выходит так, что и то и другое, они сосуществуют и мирятся, при видимой невозможности взаимного существования. Коль скоро запредельное существование мыслимо, то, тут все как с треугольником. Исследование микромира и макромира с их причудливыми законами, повысило интерес к прежде устойчиво игнорируемым порождениям ума.

Все это вызывает раздражение у честных логиков. Возьмите гневные реплики Чернышевского в его письмах из ссылки в назидание подрастающему поколению в отношении попыток пересмотреть постулаты Евклида.

“Лобачевского знала вся Казань, – писал он из Сибири сыновьям, – вся Казань единодушно говорила, что он круглый дурак… Что такое “кривизна луча”, или “кривое пространство”? Что такое “геометрия без аксиомы параллельных линий”? [В.В. Набоков, Дар]

Теорема Пифагора и апории Зенона общи в том, что для того, чтобы получить верное числовое описание предмета, помимо напрямую интересующих нас длин сторон треугольника или пройденных Ахиллесом, черепахой или стрелой расстояний, надо вводить новые сущности: в одном случае площади, в другом – скорости.

Наш школьный учебник благополучно выводит нас в точку встречи двух пешеходов или велосипедистов, пряча для убедительности от школьника главное. Изначально в основу рассуждений о встрече берутся скорости. Для этого объясняется заранее, что такое скорость. То, что если рассуждать в пройденных расстояниях, путники никогда не встретятся, подрастающий человечек узнает из позже. Потом.

A delicate balance – деликатное балансирование

Прагматизм образования, незаметно убирающий преграды, о которые можно споткнуться раньше положенного на то срока, играет тут некоторую негативную роль, тормозящую понимание предмета во всей его сложности. Возможно, что наиболее упертые двоечники рассуждают как Зенон. За что их наказывать?

За то, что они не повторяют, как попугаи, сказанное? Ситуация обстоит не лучше, чем с Гиппасом, погиб ни за что.

До греков, у которых не было учителей, помимо не умеющих взять дробь египтян, истина, подаваемая в неискаженном ее виде, дошла естественным путем. Они же сложили удачный миф о разрешении непримиримых противоречий.

Некий Гордий предлагал окружающим развязать запутанный морской узел, который узлом, на самом деле, не был, лишь внешне напоминая узел. Как таковой связать, непонятно, но природа с легкостью вяжет нераспутываемые никак узлы.

Александр Македонский, как известно, разрубил клубок Гордия мечом.

Иногда в рассмотрение необходимо брать, без рассуждений, площади и скорости, тогда решение задачи получится. В том то и дело, что иногда так, иногда этак. Мир дробится на части, между ними – пропасти.

Модель хороша тогда, когда она ухватывает суть приближения, но как об этом судить? В отличие от диагонали треугольника, длину окружности оценивают, аппроксимируя ее многоугольниками. Тут ломанная линия прекрасно работает. Почему? Мы уже знаем, что при любом числе сегментов она остается сомнительным инструментом.

Диагональ (атрибут плоской фигуры) – уже не линия, но еще и не плоскость. Эта ветвь математики породила представление о дробной размерности пространства.

Тем не менее, диагональ, она “прямая”, а окружность в каждой точке “подворачивает”. Она родственнее, тем самым, скорее, ломаной, чем прямой. Размышляя об этом, Ньютон ввел для анализа “тенденций” флюенты и флюксии, Лейбниц – функции и их производные.

НЕРАЗРЕШИМЫЕ ЗАДАЧИ ДРЕВНОСТИ

Известны еще три классические неразрешимые задачи древности. В них греки щепетильно привязали неразрешимость к инструменту решения.

Квадратура круга – задача, заключающаяся в нахождении построения с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого по площади данному кругу.

Трисекция угла – задача о делении заданного угла на три равные части построением циркулем и линейкой. Иначе говоря, необходимо построить трисектрисы угла – лучи, делящие угол на три равные части.

Удвоение куба – классическая античная задача на построение циркулем и линейкой ребра куба, объём которого вдвое больше объёма заданного куба.

Все три задачи неразрешимы. Это доказали позднее, иначе бы не было утомительных тысячелетних поисков. Элементарный механический способ нахождения квадратуры круга с помощью комка теста и скалки предложил наблюдательный Леонардо Да Винчи. Любая домохозяйка без труда решает задачу, раскатывая тесто.

АЛЕКСАНДРИЙСКАЯ ШКОЛА

Из древних авторов, известных своими капитальными трудами (хотя бы в близких оригиналу переложениях), выделяют двух математиков.

Евдокса, изучавшего множества (острова) чисел, соизмеримых между собой. Каждый такой остров описывает свою утрированную одномерную Вселенную. Объем настоящей неизбежно порождает стайки описаний, нечто одно не годится. Острова разделены тем, что между их представителями нет пропорций. Таким образом пропорциям был возвращен некоторый смысл, они стали индикатором разрывности.

Евклида, известного каноническим учебником геометрии, в котором из квадратичных кривых рассматривался только круг: возможно, поэтому астрономия так долго ждала Кеплера. Евклид или его современники, у которых он взял эту идею, развили учение о пропорциях, предложив остатком от измерения длины пути, скажем, в шагах, измерять сам шаг.

Мы прошли весь путь за столько то шагов, а остаток пути уместился в шаге еще столько то раз. Все вполне определенно. Не требуется иная мера. Если останется второй остаток, процесс можно продолжить, все более измельчая меру измерения. Путь и шаг измеряются сходным образом, поочередно меняя смысл меры. По сути, перед нами вложенная в пропорцию пропорция.

Евклид Рафаэля Санти

Так греки изобрели свой первый алгоритм со сходными между собой на шагах его итерациями, называемый алгоритмом Евклида в честь первоописателя его. Алгоритм позволял геометрически (что было легче грекам) или арифметически (позднее, арабам, европейцам) проверять соизмеримость отрезков или численных величин.

АРИСТАРХ, АРХИМЕД, ЭРАТОСФЕН, АПОЛЛОНИЙ

С учением о пропорциях связывают еще четыре имени знаменитых александрийцев: Аристарх и Архимед, Эратосфен и Аполлоний.

Еще Анаксагор, предположив, что Луна напоминает тучу, отбрасывающую тень, оценил ее величину элементарным сбором сведений о территории, с которой было видно полное солнечное затмение. Это дало первый оценочный размер космических объектов. Оказалось, что Луна (и спрятавшееся за ней Солнце) заметно больше баскетбольного меча.

Аристарх взяв в измерение положения Луны и Солнца, когда видна четверть Луны, решил задачу с прямоугольным треугольником. Хотя лунный диаметр оказался у него втрое меньше земного, диаметр Солнца в семь раз превзошел диаметр Земли. Этот аргумент положил начало спорам, что вокруг чего ходит и вертится. Очаг вокруг вертела, или вертел ходит относительно пламени.

“Альфа” и “Бета” в математике, это Архимед и ученик Аристарха, Эратосфен.

Архимед, современник Евклида, помимо легиона решенных им задач, в своем трактате “Об исчислении песчинок” поставил принципиальный вопрос о несовершенстве записи числа. Второй известен “решетом Эратосфена” – рассуждением, позволившем построить таблицу простых чисел, и замеченными в ней парами близнецов: 11 и 13, 29 и 31, 41 и 43 и т.п.

Эратосфен оценил радиус Земли по высотам полуденной тени, отбрасываемой одним предметом в двух городах, лежащих на одном меридиане. В другом изложении он заметил, что не везде Солнце смотрит на дно колодца. Для измерений можно использовать в равной мере и кол и яму. Диаметр получился внушительным, хотя это и так ясно.

Астрономов среди древних было много, Гиппарх сумел оценить расстояние до Луны. Планеты в своем движении по небосводу блуждают, делая петли. То же самое происходит с пятном на колесе. Двигаясь вместе с осью колеса вперед, периферийное пятно имеет и обратный ход. Гиппарх описал движения планет эпициклами так, как если бы они сидели на ободе катящегося по небу колеса.

По сути, он предвосхитил анализ Фурье, построив также таблицы аналогов будущих синусов. Через триста лет Клавдий Птолемей удачным учебником “Правила Великого Учения” (“Мегале Математике Синтаксис”) на века закрепил достижения Гиппарха, используя для этого относительно простую геоцентрическую модель.

Аполлоний работал с геометрическими объектами, лежащими за пределами курса элементарного учебника: с коническими сечениями (эллипс, парабола, гипербола). Сложная геометрия не была по достоинству оценена современниками. Ее взял на вооружение Кеплер, развивая учение Коперника, который вернулся к воззрениям Аристарха.

Расцвет александрийской школы принес первые классические учебники чистой и прикладной геометрии Евклида, Птолемея, Аполлония, оказавшие влияния на века.

ДИОФАНТ

Основой алгебры и теории чисел называют книгу Диофанта “Арифметика”. Заметками на полях его книги начинается издание средневековых трудов Ферма (сыном Ферма). Диофант дает рецепт нахождения пифагоровых троек, изложенный еще у Евклида более архаичным еще языком. Ученый оперирует уже нулем и отрицательными числами: он знает, что “минус, умноженный на минус, дает плюс”.

Римляне, многое сделав в воинском деле и архитектуре, в теории чисел оказались всего лишь учениками своих предшественников. Но их соборы, виадуки и дороги сумел догнать лишь предприимчивый XIX век. В 642 году арабы изгнали византийцев из Александрии, овладев остатками знаменитой библиотеки (ее постарались сжечь за два года до этого). Математик из Багдада, Мухаммед бен Муса ал-Хорезми, называемый также ал-Маджуси, существенно отошел от геометрических интерпретаций, в его времени появилась новая опора: позиционная арифметика.

Индийская позиционная премудрость, шахматы

Он написал арифметический трактат “Книга об индийском счете”, алгебраический трактат “Краткая книга об исчислении аль-джебры и алмукабалы”, географический трактат и составил астрономические таблицы. Оба математических трактата ал-Хорезми были переведены на латинский язык средневековой Европы и служили долгое время основными учебниками по математике. Наступил новый век, век войн, ремесел и географических открытий.

Новый наряд
МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ

Родиной магических квадратов считают Китай. В Китае существует учение Фэн-шуй, согласно которому цвет, форма и физическое расположение каждого элемента в пространстве влияет на поток Ци, замедляя его, перенаправляя его или ускоряя его, что напрямую влияет на уровень энергии жителей. Для познания тайн мира боги послали императору Ю (Yu) древнейший символ, квадрат Ло Шу (Ло – река).

МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ ЛО ШУ

Легенда гласит, что около четырех тысяч лет назад из бурных вод реки Ло вышла большая черепаха Шу. Люди, приносящие жертвы реке, увидели черепаху и сразу признали ее божеством. Эта черепаха на самом деле была особенной, потому что на ее панцире был нанесен странный узор из точек.

Точки были нанесены упорядоченно, это привело древних философов к мысли о том, что квадрат с числами на панцире черепахи служит моделью пространства – картой мира, составленной мифическим основателем китайской цивилизации Хуан-ди. В самом деле, сумма чисел по столбцам, строкам, обеим диагоналям квадрата одинакова M=15 и равна числу дней в каждом из 24-х циклов китайского солнечного года.

Четные и нечетные номера чередуются: причем 4 четных числа (пишутся снизу вверх по убыванию) находятся в четырех углах, а 5 нечетных чисел (пишутся снизу вверх по возрастанию) образуют крест в центре площади. Пять элементов креста отражают землю, огонь, металл, воду и лес. Сумма любых разделенных центром двух чисел равна числу Хо Ти, т.е. десяти.

Четные числа (символы Земли) Ло Шу были нанесены на теле черепахи в виде черных точек, или Инь символов, а нечетные числа (символы Неба) – в виде белых точек, или Ян символов. Земля 1 (или вода) находится снизу, огонь 9 (или небо) – сверху. Не исключено, что современное изображение цифры 5, размещенной в центре композиции, обязано китайскому символу двуединственности Ян и Инь.

Соображения древних мудрецов показались императору Ю настолько резонными, что он приказал увековечить изображение черепахи на бумаге и скрепил его своей императорской печатью. А иначе как бы мы об этом событии узнали?

МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ ИЗ КХАДЖУРАХО
Восточная комната

Магия Джозефа Редьярда Киплинга, создавшего образы Маугли, Багиры, Балу, Шер-Хана и, конечно, Табаки, началась накануне двадцатого века. За полстолетия до этого, в феврале 1838, года молодой британский офицер бенгальских инженерных войск Т.С. Берт, заинтересованный разговором слуг, несших его паланкин, отклонился от маршрута и наткнулся на древние храмы в джунглях Индии.

На ступенях храма Вишванатха офицер нашел надпись, свидетельствующую о древности сооружений. Спустя короткое время энергичный генерал-майор А. Каннингем начертил подробные планы Кхаджурахо. Были начаты раскопки, увенчавшиеся сенсационным открытием 22 храмов. Возвели храмы махараджи их династии Чанделов. После распада их царства джунгли поглотили постройки на тысячу лет. Найденный среди изображений обнаженных богов и богинь квадрат четвертого порядка поражал воображение.

 

7
 12
1
 14
2
 13
8
 11
 16
3
 10
5
9
6
 15
4

 

Мало того, что у этого квадрата суммы по строкам, столбцам и диагоналям совпадали и равнялись 34. Они совпадали также по ломанным диагоналям, образующимся при сворачивании квадрата в тор, причем в обоих направлениях. За подобное колдовство цифр такие квадраты называют «дьявольскими» (или «пандиагональными», или «насик»).

Безусловно, это свидетельствовало о необычных математических способностях их создателей, превосходящих колонизаторов. Что неизбежно почувствовали люди в белых пробковых шлемах.

МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ ДЮРЕРА

Знаменитый немецкий художник начала XVI века Альбрехт Дюрер составил первый в европейском искусстве магический квадрат 4х4. Сумма чисел в любой строке, столбце, диагонали, а также, что удивительно, в каждой четверти (даже в центральном квадрате) и даже сумма угловых чисел равна 34. Два средних числа в нижнем ряду указывают дату создания картины (1514). В средних квадратах первого столбика внесены исправления – цифры деформированы.

 

 16
3
2
 13
5
 10
 11
8
9
6
7
 12
4
 15
 14
1

 

В картине с оккультной крылатой мышью Сатурном магический квадрат сложен крылатым разумом Юпитером, которые друг другу противостоят. Квадрат симметричен, так как сумма любых двух входящих в него чисел, расположенных симметрично относительно его центра, равна 17. Если сложить четыре числа, полученные ходом шахматного коня – будет 34. Воистину этот квадрат своей безупречной упорядоченностью отражает меланхолию, охватившую художника.

Утренний сон.

Европейцев с удивительными числовыми квадратами познакомил византийский писатель и языковед Мосхопулос. Его работа была специальным сочинением на эту тему и содержала примеры магических квадратов автора.

СИСТЕМАТИЗАЦИЯ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ

В середине XVI в. в Европе появились сочинения, в которых в качестве объектов математического исследования предстали магические квадраты. Затем последовало множество других работ, в частности таких известных математиков, основоположников современной науки, как Штифель, Баше, Паскаль, Ферма, Бесси, Эйлер, Гаусс.

Магический, или волшебный квадрат – это квадратная таблица, заполненная n2 числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова. Определение условное, поскольку древние придавали также значение, например, цвету.

Нормальным называется магический квадрат, заполненный целыми числами от 1 до n2. Нормальные магические квадраты существуют для всех порядков, за исключением n = 2, хотя случай n = 1 тривиален – квадрат состоит из одного числа.

Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях называется магической константой M. Магическая константа нормального волшебного квадрата зависит только от n и определяется формулой

M = n (n2 + 1) /2

Первые значения магических констант приведены в таблице

 

n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
 10
 11
 12
 13
M
1
  15
  34
  65
  111
  175
  260
  369
  505
  671
  870
  1105

 

Если в квадрате равны суммы чисел только в строках и столбцах, то он называется полумагическим. Магический квадрат называется ассоциативным или симметричным, если сумма любых двух чисел, расположенных симметрично относительно центра квадрата, равна n2 + 1.

Существует только один нормальный квадрат третьего порядка. Его знали многие народы. Расположение чисел в квадрате Ло Шу сходно с символическими обозначениями духов в каббале и знаками индейской астрологии.

 

4
9
2
3
5
7
8
1
6

 

Известен также как квадрат Сатурна. Некоторые тайные общества в Средние века видели в нем “каббалу девяти палат”. Несомненно, оттенок за­претного волшебства много значил для сбережения его изображений.

Он был важен в средневековой ну­мерологии, часто использовался как амулет или средство для гадания. Каждая ячейка его отвечает мистической букве или иному символу. Прочитанные вме­сте вдоль определенной линии, эти знаки передавали ок­культные сообщения. Цифры, составляющие дату рождения, расставлялись в ячейках квадрата и затем расшифровывались в зависимости от значения и местоположения цифр.

Среди пандиагональных, как их именуют еще, дьявольских магических квадратов выделяют симметричные – идеальные. Дьявольский квадрат остается дьявольским, если производить его поворот, отражение, перестановку строки сверху вниз и наоборот, зачеркивание столбца справа или слева с приписыванием его с противоположной стороне. Всего выделяют пять преобразований, схема последнего приведена на рисунке

 

A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
A
D
H
E
B
C
G
F
N
O
K
J
M
P
L
I

 

Существует 48 дьявольских квадратов 4?4 с точностью до поворотов и отражений. Если принять во внимание еще и симметрию относительно торических параллельных переносов, то остается только три существенно различных дьявольских квадрата 4?4:

 

1
8
 13
 12
 14
 11
2
7
4
5
 16
9
 15
 10
3
6
1
 12
7
 14
8
 13
2
 11
  10
3
 16
5
 15
6
9
4
1
8
 11
 14
 12
 13
2
7
6
3
 16
9
 15
 10
5
4

 

Клод Ф. Брэгдон, известный американский архитектор, обнаружил, что, соединив одну за другой клетки только с четными или только с нечетными числами магических квадратов ломаной, мы в большинстве случаев получим изящный узор. Придуманный им узор для вентиляционной решетки в потолке Торговой палаты в Рочестере (штат Нью-Йорк), где он жил, построен из магической ломаной талисмана Ло-Шу. Брэгдон использовал «магические линии» как образцы рисунков для тканей, книжных обложек, архитектурных украшений и декоративных заставок.

Если из одинаковых дьявольских квадратов выложить мозаику (каждый квадрат должен вплотную примыкать к своим соседям), то получится нечто вроде паркета, в котором числа, стоящие в любой группе клеток 4х4, будут образовывать дьявольский квадрат. Числа в четырех клетках, следующих последовательно одна за другой, как бы они ни были расположены – по вертикали, по горизонтали или по диагонали, – в сумме всегда дают постоянную квадрата. Современные математики называют подобные квадраты «совершенными».

ЛАТИНСКИЙ КВАДРАТ

Латинский квадрат – разновидность неправильных математических квадратов, заполненная n различными символами таким образом, чтобы в каждой строке и в каждом столбце встречались все n символов (каждый по одному разу).

 

1
3
2
2
1
3
3
2
1

 

Латинские квадраты существуют для любого n. Любой латинский квадрат является таблицей умножения (таблицей Кэли) квазигруппы. Название «латинский квадрат» берет начало от Леонарда Эйлера, который использовал латинские буквы вместо цифр в таблице.

Два латинских квадрата называются ортогональными, если различны все упорядоченные пары символов (a,b), где a – символ в некоторой клетке первого латинского квадрата, а b – символ в той же клетке второго латинского квадрата.

 

1
2
3
2
3
1
3
1
2
1
2
3
3
1
2
2
3
1

 

Ортогональные латинские квадраты существуют для любого порядка, кроме 2 и 6. Для n являющихся степенью простого числа есть набор n–1 попарно ортогональных латинских квадратов. Если в каждой диагонали латинского квадрата все элементы различны, такой латинский квадрат называется диагональным. Пары ортогональных диагональных латинских квадратов существуют для всех порядков, кроме 2, 3 и 6. Латинский квадрат часто встречается в задачах составления расписания, поскольку в строках и столбцах числа не повторяются.

Квадрат из пар элементов двух ортогональных латинских квадратов называется греко-латинский квадратом. Подобные квадраты часто используются для построения магических квадратов и в усложненных задачах о составлении расписания.

 

 11
 22
 33
 23
 31
 12
 32
 13
 21

 

Занимаясь греко-латинскими квадратами Эйлер доказал, что квадратов второго порядка не существует, зато были найдены квадраты 3, 4, и 5 порядков. Ни одного квадрата 6 порядка он не нашел. Им была высказана гипотеза, что не существует квадратов четных порядков, не делящееся на 4 (то есть 6, 10, 14 и т. д.). В 1901 Гастон Терри перебором подтвердил гипотезу для 6 порядка. Но в 1959 году гипотеза была опровергнута Э. Т. Паркером, Р. К. Боусом и С. С. Шрикхердом, обнаружившими греко-латинский квадрат порядка 10.

ПОЛИМИНО АРТУРА КЛАРКА

Полимино – по сложности его, безусловно, относится к категории труднейших математических квадратов. Вот как о нем пишет писатель-фантаст А. Кларк – ниже размещен отрывок из книги “Земная Империя”. Очевидно, что Кларк, проживая на своем острове, он жил на Цейлоне – и его философия отрыва от социума интересна сама по себе, увлекся развлечением, которому учит бабушка мальчика, и передал его нам. Предпочтем это живое описание имеющимся систематизациям, которые передают, возможно, суть, но не дух игры.

– Ты уже достаточно большой мальчик, Дункан, и сумеешь понять эту игру… впрочем, она куда больше, чем игра. Вопреки словам бабушки, игра не впечатлила Дункана. Ну что можно сделать из пяти белых пластмассовых квадратиков?

– Прежде всего,– продолжала бабушка,– тебе нужно проверить, сколько различных узоров ты сумеешь сложить из квадратиков.

– А они при этом должны лежать на столе? – спросил Дункан.

– Да, они должны лежать, соприкасаясь. Перекрывать один квадратик другим нельзя.

Дункан принялся раскладывать квадратики.

– Ну, я могу выложить их все в прямую линию,– начал он.– Вот так… А потом могу переложить две штуки и получить букву L… А если я возьмусь за другой край, то получится буква U…

Мальчик быстро составил полдюжины сочетаний, потом еще и вдруг обнаружил, что они повторяют уже имеющиеся.

– Может, я тупой, но это все.

Дункан упустил самую простую из фигур – крест, для создания которой достаточно было выложить четыре квадратика по сторонам пятого, центрального.

– Большинство людей начинают как раз с креста,– улыбнулась бабушка.– По-моему, ты поторопился объявить себя тупым. Лучше подумай: могут ли быть еще какие-нибудь фигуры?

Сосредоточенно двигая квадратики, Дункан нашел еще три фигуры, после чего прекратил поиски.

– Теперь уже точно все, – уверенно заявил он.

– А что ты скажешь про такую фигуру?

Слегка передвинув квадратики, бабушка сложила из них подобие горбатой буквы F.

– Ого!

– И вот еще одна.

Дункан чувствовал себя последним идиотом, и бабушкины слова легли бальзамом на его смущенную душу:

– Ты просто молодец. Подумаешь, упустил всего две фигуры. А общее число фигур равно двенадцати. Не больше и не меньше. Теперь ты знаешь их все. Ищи хоть целую вечность – больше не найдешь ни одной.

Бабушка смела в угол пять белых квадратиков и выложила на стол дюжину ярких разноцветных пластиковых кусочков. Это были те самые двенадцать фигур, но уже в готовом виде, и каждая состояла из пяти квадратиков. Дункан уже был готов согласиться, что никаких других фигур действительно не существует.

Но раз бабушка выложила эти разноцветные полоски, значит, игра продолжается, и Дункана ждал еще один сюрприз.

– А теперь, Дункан, слушай внимательно. Эти фигуры называются «пентамино». Название произошло от греческого слова «пента», что значит «пять». Все фигуры равны по площади, поскольку каждая состоит из пяти одинаковых квадратиков. Фигур двенадцать, квадратиков – пять, следовательно, общая площадь будет равняться шестидесяти квадратикам. Правильно?

– Мм…да.

– Слушай дальше. Шестьдесят – замечательное круглое число, которое можно составить несколькими способами. Самый легкий – умножить десять на шесть. Такую площадь имеет эта коробочка: по горизонтали в ней умещается десять квадратиков, а по вертикали – шесть. Стало быть, в ней должны уместиться все двенадцать фигур. Просто, как составная картинка-загадка.

Дункан ожидал подвоха. Бабушка обожала словесные и математические парадоксы, и далеко не все они были понятии ее десятилетней жертве. Но на сей раз обошлось без парадоксов. Дно коробки было расчерчено на шестьдесят квадратиков, значит… Стоп! Площадь площадью, но ведь фигуры имеют разные очертания. Попробуй-ка загони их в коробку!

– Оставляю тебе эту задачу для самостоятельного решения,– объявила бабушка, видя, как он уныло двигает пентамино по дну коробки.– Поверь мне, их можно собрать.

Вскоре Дункан начал крепко сомневаться в бабушкиных словах. Ему с легкостью удавалось уложить в коробку десять фигур, а один раз он ухитрился втиснуть и одиннадцатую. Но очертания незаполненного пространства не совпадали с очертаниями двенадцатой фигуры, которую мальчик вертел в руках. Там был крест, а оставшаяся фигура напоминала букву Z…

Еще через полчаса Дункан уже находился на грани отчаяния. Бабушка погрузилась в диалог со своим компьютером, но время от времени заинтересованно поглядывала на него, словно говоря: «Это не так легко, как ты думал».

В свои десять лет Дункан отличался заметным упрямством. Большинство его сверстников давным-давно оставили бы всякие попытки. (Только через несколько лет он понял, что бабушка изящно проводила с ним психологический тест.) Дункан продержался без посторонней помощи почти сорок минут…

Тогда бабушка встала от компьютера и склонилась над головоломкой. Ее пальцы передвинули фигуры U, X и L…

Дно коробки оказалось целиком заполненным! Все куски головоломки заняли нужные места.

– Конечно, ты заранее знала ответ! – обиженно протянул Дункан.

– Ответ? – переспросила бабушка.– А как ты думаешь, сколькими способами можно уложить пентамино в эту коробку?

Вот она, ловушка. Дункан провозился почти час, так и не найдя решения, хотя за это время он перепробовал не меньше сотни вариантов. Он думал, что существует всего один способ. А их может быть… двенадцать? Или больше?

– Так сколько, по-твоему, может быть способов? – снова спросила бабушка.

– Двадцать,– выпалил Дункан, думая, что уж теперь бабушка не будет возражать.

– Попробуй снова.

Дункан почуял опасность. Забава оказалась куда хитрее, чем он думал, и мальчик благоразумно решил не рисковать.

– Вообще-то, я не знаю,– сказал он, мотая головой.

– А ты восприимчивый мальчик,– снова улыбнулась бабушка.– Интуиция – опасный проводник, но порою другого у нас нет. Могу тебя обрадовать: угадать правильный ответ здесь невозможно. Существует более двух тысяч различных способов укладки пентамино в эту коробку. Точнее, две тысячи триста тридцать девять. И что ты на это скажешь?

Вряд ли бабушка его обманывала. Но Дункан был настолько раздавлен своей неспособностью найти решение, что не удержался и выпалил:

– Не верю!

Элен редко выказывала раздражение. Когда Дункан чем-то обижал ее, она просто становилась холодной и отрешенной. Однако сейчас бабушка лишь усмехнулась и что-то выстучала на клавиатуре компьютера.

– Взгляни сюда,– предложила она.

На экране появился набор из двенадцати разноцветных пентамино, заполняющих прямоугольник размером десять на шесть. Через несколько секунд его сменило другое изображение, где фигуры, скорее всего, располагались уже по-другому (точно сказать Дункан не мог, поскольку не запомнил первую комбинацию). Вскоре изображение опять поменялось, потом еще и еще… Так продолжалось, пока бабушка не остановила программу.

– Даже при большой скорости компьютеру понадобится пять часов, чтобы перебрать все способы,– пояснила бабушка.– Можешь поверить мне на слово: все они разные. Если бы не компьютеры, сомневаюсь, что люди нашли бы все способы обычным перебором вариантов.

Дункан долго глядел на двенадцать обманчиво простых фигур. Он медленно переваривал бабушкины слова. Это было первое в его жизни математическое откровение. То, что он так опрометчиво посчитал обыкновенной детской игрой, вдруг стало разворачивать перед ним бесконечные тропинки и горизонты, хотя даже самый одаренный десятилетний ребенок вряд ли сумел бы ощутить безграничность этой вселенной.

Но тогда восторг и благоговение Дункана были пассивными. Настоящий взрыв интеллектуального наслаждения случился позже, когда он самостоятельно отыскал свой первый способ укладки пентамино. Несколько недель Дункан везде таскал с собой пластмассовую коробочку. Все свободное время он тратил только на пентамино. Фигуры превратитесь в личных друзей Дункана. Он называл их по буквам, которые те напоминали, хотя в ряде случае сходство было более чем отдаленным. Пять фигур – F, I, L, Р, N шли вразнобой, зaто остальные семь повторяли последовательность латинского алфавита: Т, U, V, W, X, Y, Z.

Однажды, в состоянии не то геометрического транса, не то геометрического экстаза, который больше не повторялся, Дункан менее чем за час нашел пять вариантов укладки. Возможно, даже Ньютон, Эйнштейн или Чэнь-цзы в свои моменты истины не ощущали большего родства с богами математики, чем Дункан Макензи.

Вскоре он сообразил, причем сам, без бабушкиных подсказок, что пентамино можно уложить в прямоугольник с другими размерами сторон. Довольно легко Дункан нашел несколько вариантов для прямоугольников 5 на 12 и 4 на 15. Затем он целую неделю мучился, пытаясь загнать двенадцать фигур в более длинный и узкий прямоугольник 3 на 20. Снова и снова он начинал заполнять коварное пространство и… получат дыры в прямоугольнике и «лишние» фигуры.

Сокрушенный, Дункан наведался к бабушке, где его ждал новый сюрприз.

– Я рада твоим опытам,– сказала Элен.– Ты исследовал все возможности, пытаясь вывести общую закономерность. Так всегда поступают математики. Но ты ошибаешься: решения для прямоугольника три на двадцать все-таки существуют. Их всего два, и если ты найдешь одно, то сумеешь отыскать и второе.

Окрыленный бабушкиной похвалой, Дункан с новыми силами продолжил «охоту на пентамино». Еще через неделю он начал понимать, какой непосильный груз взвалил на свои плечи. Количество способов, которым можно расположить двенадцать фигур, просто ошеломляло Дункана. Более того, ведь каждая фигура имела четыре положения!

И вновь он явился к бабушке, выложив ей все свои затруднения. Если для прямоугольника 3 на 20 существовало только два варианта, сколько же времени понадобится, чтобы их найти?

– Изволь, я тебе отвечу,– сказала бабушка.– Если бы ты действовал как безмозглый компьютер, занимаясь простым перебором комбинаций и тратя на каждую по одной секунде, тебе понадобилось бы…– Здесь она намеренно сделала паузу.– Тебе понадобилось бы более шести миллионов… да, более шести миллионов лет.

Земных или титанских? Этот вопрос мгновенно возник в мозгу Дункана. Впрочем, какая разница?

– Но ты отличаешься от безмозглого компьютера,– продолжала бабушка.– Ты сразу видишь заведомо непригодные комбинации, и потому тебе не надо тратить время на их проверку. Попробуй еще раз.

Дункан повиновался, уже без энтузиазма и веры в успех. А потом ему в голову пришла блестящая идея.

Карл сразу же заинтересовался пентамино и принял вызов. Он взял у Дункана коробочку с фигурами и исчез на несколько часов.

Когда Карл позвонил ему, вид у друга был несколько расстроенный.

– А ты уверен, что эта задача действительно имеет решение? – спросил он.

– Абсолютно уверен. Их целых два. Неужели ты так и не нашел хотя бы одно? Я-то думал, ты здорово соображаешь в математике.

– Представь себе, соображаю, потому и знаю, каких трудов стоит твоя задачка. Нужно проверить… миллион миллиардов возможных комбинаций.

– А откуда ты узнал, что их столько? – спросил Дункан, довольный тем, что хоть чем-то сумел заставить друга растерянно чесать в затылке.

Карл скосил глаза на лист бумаги, заполненный какими-то схемами и цифрами.

– Если исключить недопустимые комбинации и учесть симметрию и возможность поворота… получается факториал… суммарное число перестановок… ты все равно не поймешь. Я тебе лучше покажу само число.

Он поднес к камере другой лист, на котором была крупно изображена внушительная вереница цифр:


1 004 539 160 000 000.

Дункан ничего не смыслил в факториалах, однако в точности подсчетов Карла не сомневался. Длиннющее число ему очень понравилось.

– Так ты собрался бросить эту задачу? – осторожно спросил Дункан.

– Еще чего! Я просто хотел тебе показать, насколько она трудна.

Лицо Карла выражало мрачную решимость. Произнеся эти слова, он отключился.

На следующий день Дункана ожидало одно из величайших потрясений в его мальчишеской жизни. С экрана на него смотрело осунувшееся, с воспаленными глазами, лицо Карла. Чувствовалось, он провел бессонную ночь.

– Ну вот и все,– усталым, но торжествующим голосом возвестил он.

Дункан едва верил своим глазам. Ему казалось, что шансы на успех ничтожно малы. Он даже убедил себя в этом. И вдруг… Перед ним лежал прямоугольник три на двадцать, заполненный всеми двенадцатью фигурами пентамино.

Потом Карл поменял местами и перевернул фигуры на концах, оставив центральную часть нетронутой. От усталости у него слегка дрожали пальцы.

– Это второе решение,– пояснил он.– А теперь я отправляюсь спать. Так что спокойной ночи или доброго утра – это уж как тебе угодно.

Посрамленный Дункан еще долго глядел в погасший экран. Он не знал, какими путями двигался Карл, нащупывая решение головоломки. Но он знал, что его друг вышел победителем. Наперекор всему.

Он не завидовал победе друга. Дункан слишком любил Карла и всегда радовался его успехам, хотя нередко сам оказывался побежденной стороной. Но в сегодняшнем триумфе друга было что-то иное, что-то почти магическое.

Дункан впервые увидел, какой силой обладает интуиция. Он столкнулся с загадочной способностью разума вырываться за пределы фактов и отбрасывать в сторону мешающую логику. За считаные часы Карл выполнил колоссальную работу, превзойдя самый быстродействующий компьютер.

Впоследствии Дункан узнал, что подобными способностями обладают все люди, но используют они их крайне редко – возможно, один раз в жизни. У Карла этот дар получил исключительное развитие… С того момента Дункан стал серьезно относиться к рассуждениям друга, даже самым нелепым и возмутительным с точки зрения здравого смысла.

Это было двадцать лет назад. Дункан не помнил, куда делись пластмассовые фигуры пентамино. Возможно, так и остались у Карла.

Бабушкин подарок стал их новым воплощением, теперь уже в виде кусочков разноцветного камня. Удивительный, нежно-розового оттенка гранит был с холмов Галилея, обсидиан – с плато Гюйгенса, а псевдомрамор – с гряды Гершеля. И среди них… сначала Дункан подумал, что ошибся. Нет, так оно и есть: то был самый редкий и загадочный минерал Титана. Крест каменного пентамино бабушка сделала из титанита. Этот иссиня-черный, с золотистыми вкраплениями минерал не спутаешь ни с чем. Таких крупных кусков Дункан еще не видел и мог только догадываться, какова его стоимость.

– Не знаю, что и сказать,– пробормотал он.– Какая красота. Такое я вижу в первый раз.

Он обнял худенькие бабушкины плечи и вдруг почувствовал, что они дрожат и ей никак не унять эту дрожь. Дункан бережно держал ее в своих объятиях, пока плечи не перестали дрожать. В такие мгновения слова не нужны. Отчетливее, чем прежде, Дункан понимал: он последняя любовь в опустошенной жизни Элен Макензи. И теперь он улетает, оставляя ее наедине с воспоминаниями.

БОЛЬШИЕ МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ

Китайский математик XIII века Ян Хуэй был знаком с треугольником Паскаля (арифметическим треугольником). Он оставил изложение методов решения уравнений 4-й и высших степеней, встречаются правила решения полного квадратного уравнения, суммирования прогрессий, приемы построения магических квадратов. Он сумел построить магический квадрат шестого порядка, причем последний оказался почти ассоциативным (в нем только две пары центрально противолежащих чисел не дают сумму 37).

 

 27
 29
2
4
 13
 36
9
 11
 20
 22
 31
 18
 32
 25
7
3
 21
 23
 14
 16
 34
 30
 12
5
 28
6
 15
 17
 26
 19
1
 24
 33
 35
8
 10

 

Бенджамин Франклин составил квадрат 16?16, который помимо наличия постоянной суммы 2056 во всех строках, столбцах и диагоналях имел еще одно дополнительное свойство. Если вырезать из листа бумаги квадрат 4?4 и уложить этот лист на большой квадрат так, чтобы 16 клеток большего квадрата попали в эту прорезь, то сумма чисел, появившихся в этой прорези, куда бы мы ее не положили, будет одна и та же – 2056.

 

 14
 253
4
 243
 12
 251
6
 245
 10
 249
8
 247
 16
 255
2
 241
3
 244
 13
 254
5
 246
 11
 252
7
 248
9
 250
1
 242
 15
 256
 238
 29
 228
 19
 236
 27
 230
 21
 234
 25
 232
 23
 240
 31
 226
 17
 227
 20
 237
 30
 229
 22
 235
 28
 231
 24
 233
 26
 225
 18
 239
 32
 221
 46
 211
 36
 219
 44
 213
 38
 217
 42
 215
 40
 223
 48
 209
 34
 212
 35
 222
 45
 214
 37
 220
 43
 216
 39
 218
 41
 210
 33
 224
 47
 61
 206
 51
 196
 59
 204
 53
 198
 57
 202
 55
 200
 63
 208
 49
 194
 52
 195
 62
 205
 54
 197
 60
 203
 56
 199
 58
 201
 50
 193
 64
 207
 78
 189
 68
 179
 76
 187
 70
 181
 74
 185
 72
 183
 80
 191
 66
 177
 67
 180
 77
 190
 69
 182
 75
 188
 71
 184
 73
 186
 65
 178
 79
 192
 174
 93
 164
 83
 172
 91
 166
 85
 170
 89
 168
 87
 176
 95
 162
 81
 163
 84
 173
 94
 165
 86
 171
 92
 167
 88
 169
 90
 161
 82
 175
 96
 157
 110
 147
 100
 155
 108
 149
 102
 153
 106
 151
 104
 159
 112
 145
 98
 148
 99
 158
 109
 150
 101
 156
 107
 152
 103
 154
 105
 146
 97
 160
 111
 125
 142
 115
 132
 123
 140
 117
 134
 121
 138
 119
 136
 127
 144
 113
 130
 116
 131
 126
 141
 118
 133
 124
 139
 120
 135
 122
 137
 114
 129
 128
 143

 

Самым ценным в этом квадрате является то, что его довольно просто превратить в идеальный магический квадрат, в то время как построение идеальных магических квадратов – нелегкая задача. Франклин называл этот квадрат “самым очаровательным волшебством из всех магических квадратов, когда-либо сотворенных чародеями”.


Делароше – Наполеон

 

НУМЕРОЛОГИЯ

Современные числа – не древняя конструкция. Отрицательные числа ввели в математический обиход Михаэль Штифель (1487–1567) в книге «Полная арифметика» (1544), и Николя Шюке (1445–1500). Обозначение множества Z происходит от немецкого слова Zahlen – «числа».

За числом стоит фатальность, рок, событие. Карл Юнг утверждал, что числа предшествовали сознанию и скорее открыты человеком, а не изобретены. По его мнению, числа, возможно, являются наиболее примитивным элементом порядка в мысли и подсознательно используются как организующий фактор.

Многие ученые согласны с тем, что любое возможное знание присутствует в уме в абстрактной форме. Цифры же – это некий язык, средство общения. Мы выражаем мысли с помощью языков, основанных на числовом символизме. Именно наука числе может обладать ключом жизни и сути бытия. Число понимается как термин, приложимый ко всем цифрам и их комбинациям.

Пифагорейцы верили, что все вещи есть числа и их составляющие есть составляющие всех вещей. Нумерологией увлекались физики Г. Гамов и П. Дирак, они верили, что можно найти некие достаточно простые соотношения между основными физическими величинами, которые смогут объяснить основные законы мироздания – увлечение, связанное у обоих с любовью к теории чисел.

ПРОСТЫЕ ЧИСЛА

Простое число – это натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя. Все остальные числа, кроме единицы, называются составными. Таким образом, все натуральные числа больше единицы разбиваются на простые и составные. Изучением свойств простых чисел занимается теория чисел. В теории колец простым числам соответствуют неприводимые элементы.

Последовательность простых чисел начинается так: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, …

МУЖСКИЕ И ЖЕНСКИЕ ЧИСЛА

Пифагор определяя число как энергию и считал, что через науку о числах раскрывается тайна Вселенной, ибо число заключает в себе тайну вещей.

Брунери Франсуа – восхищение ребенком

Четные числа Пифагор считал женскими, а нечетные – мужскими: 2+3=5 – это символ семьи, брака. Символ ванадия, 23-го элемента таблицы Менделеева, – V (римское 5).

В древности маги считали число 5 счастливым и священным. В Библии замечено, что алтарь Бога был пяти локтей длины и той же ширины. Жертва мира включала пять овнов, коз и агнцев. Было пять неразумных дев и столько же мудрых.

Пентакль Соломона, или пентаграмма, состоит из пяти лучей, изображающих человека с распростертыми руками и ногами. У нас – пять физических чувств, череп состоит из пяти костей, к тому же мы имеем на руках и ногах по пять пальцев. В астрологическом плане число пять соответствует Меркурию.

ЗОЛОТОЕ ЧИСЛО ХРОМОСОМ

Поговорим о 23. Золотое сечение числа 60 (количество минут в часе и секунд в минуте) дает числа 37 и 23. Таким образом, 23 минуты – обращенное золотое сечение часа, а 23 секунды – обращенное золотое сечение минуты. У человека 46 хромосом – 23 от отца и 23 от матери. В теле 230, а в руке – 23 сустава, в позвоночном столбе насчитывается 23 межпозвоночных хряща. Биоритмический цикл человека составляет 23 дня. Кровь совершает полный оборот в организме за 23 секунды. Человек – это, само по себе, еще и самое большое несчастье.

Неуклюжий парикмахер

Одним из вдохновителей помешательства на числе 23 был писатель Уильям Берроуз.

В 60-х годах он писал о своем знакомом капитане Кларке, который управлял паромом, соединявшим Марокко и Испанию. Как-то раз Кларк похвастался Берроузу, что за 23 года на его пароме не было ни одного происшествия… В этот же день паром затонул со всеми пассажирами и самим Кларком. Вечером Берроуз случайно услышал по радио, что потерпел крушение самолет из Нью-Йорка с бортовым номером 23. Самолетом управлял пилот капитан Кларк.

После этого писатель начал коллекционировать совпадения, в которых фигурировало число 23. А фразочка “Капитан Кларк приветствует вас на борту” теперь кочует из одного его романа в другой. Берроуз, в свою очередь, вдохновил эзотерика Роберта Антона Уилсона, написавшего об этом книгу “Космический триггер”.

Джон Диллинджер ограбил 26 банков, но деньги забрал только в 23-х из них. Его застрелили в чикагском театре, находящемся в доме 2323 по Кларк-стрит. Другая звезда криминала, Артур Фленгенхаймер, более известный как Немец Шульц, умер 23 октября 1935 года. За год до смерти Шульц оплатил заказное убийство гангстера-конкурента Колла по кличке «Бешеный пес» – того застрелили в возрасте 23 лет.

В день смерти Шульца был ранен Кромпьер, король преступников Гарлема, который в момент ареста сказал полиции загадочную фразу: «Кажется, это одно из тех совпадений». Убийца Шульца, Чарли Уоркмэн, отбывал наказание в течение 23 лет, после чего был освобожден условно.

ОДИН МИГ И ОДИН СИГ

Едва ли число 1296=2x2x2x2x3x3x3x3 случайное.

Это число Фридмана (Friedman), 1296 можно получить арифметическими операциями с его цифрами 6(9-1)/2: таковы 25, 121, 125, 126, 127, 128, 153, 216, 289, 343, 347, 625, 688, 736, 1022, 1024, 1206, 1255, 1260, 1285, 1296, … Его делители 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 27, 36, 48, 54, 72, 81, 108, 144, 162, 216, 324, 432, 648, 1296.

Сумма всех делителей 3751 (2455, без учета самого числа). 2455 больше, чем 1296, в теории чисел их называю избыточными, обильными (abundant number or excessive number).

Число 1296 выглядит как урожайный год. Читаем: султан Дели Ала-ад-дин Хильджи. Уничтожил своих противников из числа влиятельных иктадаров и отразил три монгольских вторжения. Неплохо, наверное, для султана. Целых три вторжения. Иктадаров, поди, еще и больше было. Шесть или три сотни. Неважно. Всех иктадаров.

А ведь корень из 1296 равен 36. Что то со школы знакомое. Шесть в квадрате! Температура тела (36.6).

Каждые сутки древних славян были разделены на 16 часов, каждый час содержал 144 части, в каждой части было 1296 долей, в каждой доле – 72 мгновения, в каждом мгновении – 760 мигов, в каждом миге – 160 сигов. Зачем славянам такая секунда? Разве мух рукою ловить. Но понадобилась. Может в прошлом они на космической тарелке прилетели? Вот откуда пошло – сигануть. Из другой галактики сиганули.

Кого заинтересовало – иктадары, владельцы икты. Земельного надела. Феодалы-собственники, помещики, сборщики дани с безыктового крестьянства.

СОВЕРШЕННЫЕ ЧИСЛА

Пифагорейцы рассматривали четное число, прототипом которого была диада, неопределенным и женским. «Четные числа, допускавшие раздвоение, казались более разумными, олицетворяли некоторое положительное явление», – писал Аристотель.

Четные числа Пифагор делили на 3 класса: четно-четные, четно-нечетные, нечетно-нечетные. Первый класс составляют числа 1,2,4,8,16,32,64,128,512 и 1024. Совершенство этих чисел Пифагор видел в том, что они могут делиться пополам и еще раз, и так далее до получения единицы. Второй – остальные четные числа. Третий – числа нечетные.

Четно-четные числа обладают некоторыми уникальными свойствами. Сумма любого числа терминов, кроме последнего, всегда равна последнему за вычетом единицы. К примеру, сумма четырех терминов (1+2+4+8) равна пятому термину (16) минус один, то есть 15.

По мнению Пифагора, совершенство числа зависит от его делителей (т. е. тех чисел, которые делят без остатка исходное число).

Например, делителями числа 12 являются 1, 2, 3, 4, и 6. Если сумма делителей числа больше самого числа, то такое число называется «избыточным». Например, 12 – избыточное число, так как сумма его делителей равна 16. С другой стороны, если сумма делителей числа меньше самого числа, то такое число называется «недостаточным». Например, 10 – недостаточное число, так как сумма его делителей (1, 2 и 5) равна лишь 8.

Числа, сумма делителей которых в точности равна самому числу, пифагорейцы считали особенно важными. Такие числа они называли совершенными.

Например, число 6 имеет делителями 1, 2 и 3 и, следовательно, совершенно, так как 1+2+3 = 6. Следующее совершенное число равно 28, так как 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. По мере того как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются все реже. Третье совершенное число – 496, четвертое – 8128, пятое – 33 550 336, шестое – 8 589 869 056, седьмое – 137 438 691 328.

БОГ СОТВОРИЛ ЗЕМЛЮ ЗА 6 ДНЕЙ

Совершенный характер чисел 6 и 28, имевший столь большое математическое значение для пифагорейцев, был признан и другими культурами, обратившими внимание на то, что Луна совершает оборот вокруг Земли каждые 28 дней, и утверждавшими, что Бог сотворил мир за 6 дней.

В сочинении «Град Божий» Св. Августин высказал мысль о том, что хотя Бог мог сотворить мир в одно мгновенье, Он предпочел сотворить его за 6 дней, дабы поразмыслить над совершенством мира.

По мнению Св. Августина, число 6 совершенно не потому, что Бог избрал его, а потому, что совершенство внутренне присуще природе этого числа. «Число 6 совершенно само по себе, а не потому, что Господь сотворил все сущее за 6 дней; скорее наоборот, Бог сотворил все сущее за 6 дней потому, что это число совершенно.

И оно оставалось бы совершенным, даже если бы не было сотворения за 6 дней».

СВОЙСТВА СОВЕРШЕННЫХ ЧИСЕЛ

Пифагор заметил, что совершенные числа не только равны сумме своих делителей, но и обладают некоторыми другими изящными свойствами.

Например, совершенные числа всегда равны сумме нескольких последовательных натуральных чисел. В самом деле, 6 = 1 + 2 + 3, 28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7, 496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + … + 30 + 31, 8128 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + … + 126 + 127.

Одно из его открытий состояло в том, что совершенство чисел тесно связано с «двоичностью».

Числа 4=2·2, 8=2·2·2, 16=2·2·2·2 и т. д. называются степенями числа 2. Все степени числа 2 чуть-чуть «не достают» до того, чтобы стать совершенными, так как сумма их делителей всегда на единицу меньше самого числа. Иначе говоря, все степени двойки слегка недостаточны: 2·2 = 4, делители 1, 2, сумма 3, 2·2·2 = 8, делители 1, 2, 4, сумма 7, и т.п.

Двумя столетиями спустя Евклид уточнил замеченную Пифагором взаимосвязь между двоичностью и совершенством.

Евклид открыл, что совершенные числа всегда кратны двум числам, одно из которых равно степени числа 2, а другое на единицу меньше следующей степени числа 2: 6 = 2·(4–1), 28 = 4·(8–1), …

ИДЕАЛЫ

Числа, ведущие себя, в общем, алгебраически неправильно, иногда можно сгруппировать так, чтобы хотя бы группы их не нарушали арифметическое однообразие и о них можно было бы определенно высказаться. Название «идеал» ведет свое происхождение от «идеальных чисел» Куммера.

Кумер бежал к усечениям (идеальным числам), уходя от неоднозначностей, которые он считал второстепенными, ныне это понятие не используется.

Простейшими примерами идеалов может служить подкольцо четных чисел в кольце целых чисел. Для кольца R идеалом называется подкольцо, замкнутое относительно умножения на элементы из R. В кольцах вместо простых чисел изучаются простые идеалы, как обобщение взаимно простых чисел вводятся взаимно простые идеалы, можно доказать аналог китайской теоремы об остатках для идеалов.

В некотором важном классе колец (т.н. дедекиндовых) можно даже получить аналог основной теоремы арифметики: в этих кольцах каждый ненулевой идеал можно единственным образом представить как произведение простых идеалов и т.п., это иллюстративный материал алгебры.

ТЕОРИЯ МУЗЫКИ ПИФАГОРА
Диссонанс

Пифагор пришел к ним (числам), увлекаясь сначала музыкой. Занимаясь гармонией, пифагорейцы пришли к выводу, что качественные отличия звуков обуславливаются чисто количественными различиями длин струн или флейт. Так, гармонический аккорд при звучании трех струн получается в том случае, когда длины этих струн сопоставляются с соотношением чисел 3, 4 и 6. Такое же соотношение было подмечено пифагорейцами и во многих других случаях.

Разбирая вопрос о покрытии плоскости правильными одноименными многоугольниками, пифагорейцы нашли, что возможны только три случая таких покрытий: вокруг одной точки плоскости можно плотно уложить или шесть правильных треугольников, или четыре правильных четырехугольника (квадрата), или же три правильных шестиугольника.

Если обратим внимание на числа правильных многоугольников в этих трех случаях, то увидим, что их отношение равно отношению 6:4:3, если же возьмем отношение числа сторон этих многоугольников, то найдем, что оно равно отношению чисел 3:4:6.

На основе подобных наблюдений в школе Пифагора возникло убеждение, что во всей Вселенной явления подчинены вполне определенным числовым соотношениям, то есть существует “мировая гармония”, что “элементы чисел являются элементами всех вещей и что весь мир в целом является гармонией и числом”.

Математическое выражение закона Гармонии звуков легенда приписывает Пифагору и его ученику Архиту. Чтобы пояснить этот закон, возьмем музыкальный инструмент, состоящий из двух одинаковых струн, длину которых можно менять, прижимая их к грифу, подобно тому как это делает скрипач или гитарист.

Для своих исследований Пифагор использовал более удобный монохорд (в переводе с греческого – однострунный). Инструмент представлял собой четырехугольный ящик длиной около 1 метра, над верхней декой (доской) располагалась одна струна, ограниченная с двух сторон порожками.

Под струной располагалась двигающаяся подставка, которая позволяла изменять высоту звука.

Зажимая струну монохорда в отмеченных местах, Пифагор обнаружил, что между длинами получаемых отрезков и длиной целой струны существует определенное математическое соотношение.

Тоны, составляющие гармонические интервалы с первоначальным тоном, появляются только в том случае, если соотношение длин звучащей части и целой струны представляет собой соотношение целых чисел, к примеру, 2:1, 3:2, 4:3. Эти целочисленные соотношения – архетипы формы, выражающей гармонию и равновесие, и в этом качестве они фигурируют в культурах самых разных народов.

Совместное звучание, издаваемое струнами, наиболее благозвучно, если длины струн находятся в правильном численном отношении друг к другу: звучащие струны определяют консонанс, если их длины относятся как целые числа Тетраксиса, то есть как 1:2, 2:3, 3:4. Причем чем меньше число n в отношении n:(n + 1) (n = 1, 2, 3), тем более гармоничным кажется созвучие.

В Средние века эти созвучия были названы совершенными консонансами, это: октава (если длины струн относятся как 1:2), квинта (если длины струн относятся как 2:3), кварта (если длины струн относятся как 3:4).

На основе этих созвучий была построена совершенная пифагорова гамма.

Пусть звучание двух струн образует октаву. Звуки, издаваемые струнами, сопоставим с нотами «до» первой и второй октав. Пусть далее одна струна звучит как нота «до» первой октавы, а вторая составляет с ней квинту, – назовем ее звучание нотой «соль» первой октавы.

Точно так же нотой «фа» первой октавы назовем звучание струны, составляющей квинту с нотой «до» второй октавы. Ноты можно графически изобразить на отрезке прямой, как это сделано на рисунке слева внизу.

Расстояние между нотами назовем интервалом, он измеряется отношением длин звучащих струн.

Так, интервал между нотами «до» первой и второй октав равен 2:1, это октава; интервал между «до» и «соль» первой октавы, так же как и между «фа» первой и «до» второй октав, равен 3:2, это квинта.

Тогда окажется, что «до» и «фа» первой октавы и «соль» первой и «до» второй октавы образуют кварту. Интервал между нотами «соль» и «фа» составляет тон, он равен 9/8, полутоновый же интервал имеет величину 256:243.

На основании этого строится вся октава. Именно эту гармонию признают музыканты с идеальным слухом.

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ

Как же, без него, q=(?5+1)/2=1.6180339.. Прямоугольник в этой пропорции, разделанный квадратом, воскресает. Алгебраически это записывается обычно так: a:b=b:(a+b).

Для художников с математическим складом ума отношение величин при золотом сечении выражается постоянным иррациональным числом 1.6180339.., обозначаемым греческой буквой Ф – по первой букве имени греческого скульптора Фидия. Золотое сечение – не единственный способ получения гармоничных пропорций.

Числа Фибоначчи – элементы числовой последовательности 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, … в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Название по имени средневекового математика Леонардо Пизанского (известного как Фибоначчи). Отношение же, что легко проверить, стремится к золотому сечению.

Важную роль при делении пространства имеют некоторые сочетания, основанные на простом квадрате. Из квадрата, являющегося естественной частью прямоугольника золотого сечения, может быть построен прямоугольник ?2, который образуется проведением дуги радиусом, равным диагонали квадрата.

Этот прямоугольник иногда путают с прямоугольником золотого сечения. Возможно, путаница произошла по вине группы кубистов, использовавших прямоугольник ?2 назвавших свою выставку 1912 г. в Париже La Section d’Or (“Золотое сечение”).

Этот прямоугольник составляет основу для форматов серии А принятой в качестве стандарта в Европе и Великобритании. Самый распространенный А4 (210х297 мм).

Квадрат также играет ключевую роль в модульной системе японского национального дома, которая исходит от размера соломенных циновок-”татами”. Пропорция двойного квадрата соломенных циновок размером приблизительно 3х6 футов (0,91 х 1,83 м) делила площадь пола на различные залы, что создавало удивительное разнообразие асимметричных форм в традиционных японских домах.

Простейший прямоугольник, квадрат, был, пожалуй, для современных художников более важным фактором в развитии сетки, чем золотое сечение или любая другая система пропорций.

Ищите и обрящете. В правильной пятиконечной звезде каждый отрезок делится пересекающим его отрезком в золотом сечении.

ИНТЕРНЕТ ЛИТЕРАТУРА

Знаменитые в истории математики соотношениями, см. реферат Пифагор | Число 12.

ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

Еще в начале прошлого века Алексей Николаевич Крылов писал, что “математика в современном своем состоянии настолько обширна и разнообразна, что можно смело сказать, что в полном объеме она уму человеческому непостижима, а следовательно, должен быть сделан строгий выбор того, что из математики нужно знать…

Европейские народы унаследовали свою культуру от древних греков, населявших побережье восточной части Средиземного моря, главным образом теперешнюю Грецию.

Само собой разумеется, что в то время геометрию изучали взрослые юноши, а вернее, в часы досуга зрелые бородатые мужи, искушенные в словопрениях перед судилищами и ареопагами, ибо лишь они могли оценить всю тонкость оргики Евклида; теперь же в Англии в буквальных переводах мучают 12– и 13-летних мальчиков, и можно лишь удивляться, как общество “Защиты детей от жестокого обращения и покровительства животным” это допускает”.

Что сказал Крылов, лучше не скажешь. Пройдемся вкратце по истории учения о пропорциях, созданного древними греками.

АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА

Алгоритм Евклида – в оригинале формулируется вовсе не как арифметический алгоритм, это, скорее, геометрическая идея, и на эту тему приводятся наглядные геометрические же интерпретации: сколько раз метр b уложится в рулон материи a, допустим, и сколько раз отрезок куска r = a–qb уложится в метре.

Собственно, вот он, этот алгоритм.

a=225; b=10;
r=b;
while (r>0) {
q=floor(a/b);
r=a-q*b; a=b; b=r;
putm(q);
}

Для a=225 и b=10, получим последовательные кратности (фракции) q0=22, q1=2. Изменим a на 227, цепочка вычислений удлинится q0=22, q1=1, q2=2, q3=3. Результат принято записывать в квадратных скобках, выделяя первое число иным знаком препинания.

225:10 = [22; 2], 227:10 = [22; 1, 2, 3].

Такой разделитель напоминает запятую в десятичной записи числа, однако фракции – не цифры, а числа. Символ отношения a:b можно заменять дробной чертой a/b, как и в школьных обозначениях пропорций или дробей.

НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ

Теперь начнем извлекать из алгоритма, помимо фракций, дополнительные выгоды.

В процессе итераций с сопоставимыми между собой числами остаток монотонно убывает до нуля, в связи с чем алгоритм именуют еще алгоритмом исчерпания (остатков). Последний отличный от нуля остаток равен наибольшему общему делителю (НОД) исходных чисел a, b. Подпрограмму вычисления НОД принято именовать gcd от “greatest common divisor”, приведем ее вариант, индифферентный к начальному соотношению чисел a и b.

a=225; b=10; r=gcd(a,b); putm(r);

function gcd(a,b) {
var q,r,R; R=a;
if (b>0) { R=b; r=b;
while (r>0) {
q=floor(a/b); R=r;
r=a-q*b; a=b; b=r;
}}
return R;
}

Некоторая тонкость. Неполное частное от деления a=-5 на b=3 принимается равным q0=-2. В таком случае остаток (т.е. НОД) будет положительным числом r=a-q0b=1.

ЦЕПНАЯ ДРОБЬ

Цепная дробь – это формула для записи отношения a и b через фракции

a/b = [q0; q1, … , qn] = q0 + 1/(q1 + …).

В примере выше первое отношение раскрывается как

225/10 = [22; 2] = 22 + 1/2,
а второе как

227/10 = 22 + 1/(1 + 1/(2 + 1/3)) = 22 + 1/(1 + 3/7) = 22 + 7/10.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЛА ЦЕПНОЙ ДРОБЬЮ

Произвольное число x представимо в виде конечной или бесконечной цепной дроби через фракции, которые ищутся как целые части инверсных остатков

x = [q0; q1, … , qn], q0=[1/x], q1=[1/(x-q0)], и т.п.

Одна-треть в десятичной системе представима бесконечной записью 0.33333.., тогда как через фракции это пишется короче [0; 3]. Выгода очевидна.

x=1/3; f=fractions(x); x=restore(f); putm(f+’ ‘+x);

function fractions(x) {
var i,q,r,f;
r=x; q=floor(x); f=q; r=r-q;
for (i=0;i<20;i++) if (r>0.0000001) {
if (i==0) f=[q]; r=1/r; q=floor(r);
f.push(q); r=r-q;
}else{ break; }
return f;
}

function restore(f) {
var i,n; n=rows(f);
if (n) { n–; x=f[n];
for (i=n;i>0;i–) x=f[i-1]+1/x;
}else{ x=f; }
return x;
}

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ЦЕПНЫЕ ДРОБИ

Цепная дробь является периодической тогда и только тогда, когда число представимо в виде квадратичной иррациональности(a+bsqrt(c))/d, где c не является точным квадратом. Фракции можно найти с помощью подпрограммы

x=sqrt(2); f=fractions(x); putm(f);

function fractions(x) {
var i,q,r,f;
r=x; q=floor(x); f=q; r=r-q;
for (i=0;i<20;i++) if (r>0.0000001) {
if (i==0) f=[q]; r=1/r; q=floor(r);
f.push(q); r=r-q;
}else{ break; }
return f;
}

Периодические фракции корня квадратного из 2 равны 2, из трех: 1,2, из пяти: 4, из шести: 2,4, из семи: 1,1,1,4, из восьми: 1,4, из десяти: 6. Ограничим представление sqrt2=1.4142136, при этом старшие фракции утрачивают периодичность. Радикал из пяти имеет более быструю сходимость, чем корни квадратные из 2, 3 и 7.

Цепная дробь для числа Pi бесконечна и иррегулярна, как и ее десятичное представление.

ПОДХОДЯЩАЯ ДРОБЬ

Подходящей дробью длиною n называется цепная дробь, задающая произвольное число x его наилучшим рациональным приближением. Рекуррентные формулы для вычисления оценок числителя a и знаменателя b вывел еще Эйлер

a-1=1, a0=q0, an=qnan-1+an-2, b-1=0, b0=1, bn=qnbn-1+bn-2,

ниже приведена соответствующая программа.

x=PI; f=fractions(x);

n=2; a=rational2(f,1,n); b=rational2(f,0,n);

putm(PI+’ ‘+a+’ ‘+b+’ ‘+a/b);

function rational2(f,b,n) {
var i,m,r,a,b; a=1; m=rows(f);
if(m){ if (n>m) n=m; n++; if (b>0) a=f[0];
for (i=1;i<n;i++) { r=f[i]*a+b; b=a; a=r; }
}else{ if (b>0) a=f; }
return a;
}

function fractions(x) {
var i,q,r,f;
r=x; q=floor(x); f=q; r=r-q;
for (i=0;i<20;i++) if (r>0.0000001) {
if (i==0) f=[q]; r=1/r; q=floor(r);
f.push(q); r=r-q;
}else{ break; }
return f;
}

Подходящее времяпровождение

СООТНОШЕНИЕ БЕЗУ

В теории чисел соотношение Безу – соотношение между парой целых чисел a,b и их наибольшим общим делителем, названное в честь французского математика Этьена Безу соотношением Безу:

НОД(a,b) = ax + by.

Другими словами, наибольший общий делитель чисел a, b можно всегда представить как линейную комбинацию a и b с целыми коэффициентами. Также, впрочем, как любые остатки алгоритма Евклида

r1 = a + b (-q0), r2 = a(-q0) + b(1 + q1q0), … , rn = ax + by.

Отношению коэффициентов Безу y/x с точностью до знака равно цепной дроби, вычисленной по разложению a/b без учета последней фракции

c = y/x = –[q0; q1, … , qn-1].

Коэффициенты Безу x,y определены неоднозначно – если какие-то их значения известны, то все множество коэффициентов описывается формулами: x + kb/НОД(a,b), y – ka/НОД(a,b), k = 0,1,…

ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ

Рассмотрим линейное уравнение

ax + by = 1.
которое совместно (имеет решение в целых числах), если a, b взаимно просты: НОД(a,b)=1. Решение этого уравнения сводится к поиску коэффициентов Безу, связанных линейно y = cx, отсюда получаем уравнение (a + bc) x = 1 для расчета их начальных значений. В то случае, когда правая часть отлична от 1, в силу линейности она является множителем при решениях приведенного выше уравнения.

a=9; b=7; c=bezout(a,b);
x=round(1/(a+b*c)); y=round(c*x); puts(x+’ ‘+y);

function bezout(a,b) {
var f=fractions(a/b); f.pop(); var c=-restore(f);
return c;
}

function fractions(x) {
var i,q,r,f;
r=x; q=floor(x); f=q; r=r-q;
for (i=0;i<20;i++) if (r>0.0000001) {
if (i==0) f=[q]; r=1/r; q=floor(r);
f.push(q); r=r-q;
}else{ break; }
return f;
}

function restore(f) {
var i,n; n=rows(f);
if (n) { n–; x=f[n];
for (i=n;i>0;i–) x=f[i-1]+1/x;
}else{ x=f; }
return x;
}

КВАДРАТИЧНОЕ УРАВНЕНИЕ

В пифагоровой тройке (x,y,z) целые числа удовлетворяют равенству:

x2 + y2 = z2

Общее параметрическое решение для пифагоровых троек дает (формула Евклида):

x=m(u2 – v2), y=2muv, z=m(u2 + v2),

где m, u, v – целые числа (параметры), u>v. Ввиду очевидного интереса к пифагоровым троицам, соотношение выведено давно и ничего примечательного, помимо того, что оно дает решение известной проблемы, в себе не содержит. Квадратичный случай в некотором смысле проще линейного, где работает соотношение Безу.

Пифагоровы тройки как точки пересечения окружности с сеткой

Пифагоровы тройки можно использовать для построения целочисленных проекций декартовых координат точки на круге. Поэтому задача их нахождения эквивалентна отысканию рациональных точек на круге единичного радиуса. Эти точки оставляет луч, исходящий из (–1, 0) под углом, имеющим рациональное значение.

Диофант рассматривал не только квадратические, но и кубические зависимости [Джон Стилвел], с тех пор такие задачи называют диофантовыми.

УРАВНЕНИЕ ПЕ­­ЛЛЯ

Квадратичное уравнение с минусом вида

x2 – Dy2 = 1,
где D – целое положительное число, не являющееся полным квадратом, называется уравнение Пелля. Название обязано исторической ошибке Леонарда Эйлера, поскольку Джон Пелль (17 в.) уравнением не занимался. Во Франции оно называется “уравнением Ферма”.

Частный случай уравнения Пелля

x2 – 2y2 = 1
изучался еще пифагорейцами в связи с sqrt(2).

Решение x0 = 1, y0 = 0 очевидно. Пары (±1, 0) являются решениями, называемыми тривиальными. Ввиду симметрии, достаточно найти решения с положительными x и y. Если D является полным квадратом, то у уравнения нет нетривиальных решений, поскольку в левой части стоит разность двух полных квадратов, что объясняет ограничение на этот параметр. Если D не является полным квадратом, то уравнение имеет бесконечное количество решений.

Пифагорейцы обнаружили способ построения все больших и больших решений посредством рекуррентных соотношений

xn+1 = xn + 2yn, yn+1 = xn + yn,

доказываемых подстановкой в исходную формулу. Помимо того, из уравнения видно, что при достаточно больших числах единицей в правой части можно пренебречь, тогда sqrt(2) приблизительно равен отношению x/y.

Пары (xnn) известны как боковые и диагональные числа, потому что их отношение стремится к отношению стороны и диагонали в квадрате.

x=one(50); y=zero(x);
for (n=0;n<rows(x)-1;n++) {
x[n+1]=x[n]+2*y[n]; y[n+1]=x[n]+y[n]; }

y[0]=1; {{p=x./y}}; plot(p,’B’); putm(p)

Рекуррентное соотношение для общего случая вывел в седьмом веке н. э. индийский математик Брахмагупта. При этом используется правило вложения

(x1 + sqrt(D) y1)n = xn + sqrt(D) yn,

Поскольку задачи с прочими диофантовыми уравнениями часто сводятся к задаче с уравнением Пелля, над техникой поиска его решения работали Лагранж и Эйлер.

Например, известен такой ход. При больших x и y, являющихся решениями уравнения Пелля, отношение x/y должно быть близким к sqrt(D). Верно и более сильное утверждение: такое отношение должно быть подходящей дробью, и имеет место следующий критерий: числитель и знаменатель подходящей дроби являются решением уравнения Пелля тогда и только тогда, когда номер n этой подходящей дроби нечетен и сравним с –1 по модулю p (т.е. дает при делении на p число p–1), где p – период цепной дроби.

Пусть D=13, период цепной дроби p=5 и существует n=9 такое, что n mod p = –1, наилучшее приближение sqrt(13) = 649/180, следовательно x=649, y=180 является следующим, после тривиального, решением уравнения

x2 – 13y2 = 1
x=sqrt(13); f=fractions(x); puts(f);

n=9; a=rational2(f,1,n); b=rational2(f,0,n);
putm(x+’ ‘+a+’ ‘+b+’ ‘+a/b);

function rational2(f,b,n) {
var i,m,r,a,b; a=1; m=rows(f);
if(m){ if (n>m) n=m; n++; if (b>0) a=f[0];
for (i=1;i<n;i++) { r=f[i]*a+b; b=a; a=r; }
}else{ if (b>0) a=f; }
return a;
}

function fractions(x) {
var i,q,r,f;
r=x; q=floor(x); f=q; r=r-q;
for (i=0;i<20;i++) if (r>0.0000001) {
if (i==0) f=[q]; r=1/r; q=floor(r);
f.push(q); r=r-q;
}else{ break; }
return f;
}

В нашем распоряжении, вместе с тривиальным, появилась пара решений. Для числа x + sqrt(D)y можно ввести норму (x + sqrt(D)y)(x – sqrt(D)y) = x2 – Dy2, таким образом, решения уравнения Пелля лежат на сфере единичного радиуса (решению соответствует единица кольца Z(sqrt(D))).

Поэтому, а также в силу мультипликативности нормы, решения можно как “умножать”, так и “делить”: паре решений (x1,y1) и (x2,y2) можно поставить в соответствие следующую пару

(x1x2 + D y1y2, x1y2 + x2y1), (x1x2 – D y1y2, –x1y2 + x2y1).
Парное решение
ТЕОРЕМА ФЕРМА

Изучение более сложных задач началось с того, что великий математик Пьер Ферма обратил внимание, что среди пифагоровых троек нет троек, содержащих одни квадраты целых чисел. В четвертых степенях соотношение, сходное соотношению Пифагора, не решается. Ферма и независимо Эйлер доказали то же самое для кубов.

Пьер Ферма пишет заметки на полях “Арифметики” Диофанта

Ферма, за дефицитом бумаги, царапал свои записи на широких свободных полях учебника Диофанта. Сын издал записи отца (копию учебника с замечаниями). Из записей следовало, что Ферма доказал самое общее предположение о том, что квадратичный случай – единственный, когда в целых числах разрешимо степенное уравнение

xn + yn = zn.

Наоборот, невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него.

Интрига, скрытая в этом кратком повествовании, развернулась как сжатая пружина, когда теорема Ферма спасла от верной смерти немецкого фабриканта Вольфскеля. Будучи пунктуальным человеком и скучая до положенного отведенного роковому для себя выстрела времени, он случайно снял с полки экземпляр книги, заинтересовался ее содержанием и совершенно забыл о своем намерении. Углубившись в расчеты и не в состоянии завершить их, он завещал тому, кто решит загадку, огромное состояние. Публикация этого сообщения в газете всколыхнула общество.

Теоретические дебаты

После того, как император Наполеон вознес Вольта за изобретенную им электрическую батарейку, занятие наукой во Франции стало не только почетным, но и прибыльным занятием. Во французской Академии Наук, собравшей огромный научный потенциал, начались дебаты корифеев математики в отношении недоказанной теоремы, окончившиеся полным их поражением.

Ферма едва ли мог в своем времени заметить внушительные алгебраические препятствия на своем пути. Например, при n=5 в доказательстве необходимо использовать комплексные числа: это первым заметил в конце 18 века Адриен Лежандр, а Ферма всю жизнь сомневался в полезности таких чисел! Тем самым, доказательство “большой теоремы Ферма” натолкнулось на неоднозначное разложение комплексных чисел определенного вида на простые множители.

КАК ДОКАЗАЛИ ТЕОРЕМУ ФЕРМА

Немецкий математик Эрнст Куммер занимался разложениями комплексных чисел на множители и ему хорошо была знакома неединственность в решении этой задачи. Он построил арифметику целых чисел алгебраического числового поля, порожденного корнями n-й степени из единицы a, рассматривая числа вида z+ay, где z и у – целые, как “новые целые числа”. Уже при n=3 в доказательстве Эйлера появляется корень из –1.

В вещественном случае целые числа разлагаются на произведение простых единственным способом. Наблюдая за переполохом во французской Академии Наук, вызванной очередною схваткою между Габриелем Ламе и Огюстом Коши, он послал письмо приятелю, Жозефу Лиувиллю, в котором вылил на спорщиков ушат холодной воды. Оба пренебрегали вариативностью задачи, необъятно разрастающейся в случае неединственности нерегулярных целых чисел n = 23?, 37, 59, 67 (уже при n<100).

Постепенно в поле зрения математиков попали не только комплексные числа, но также эллиптические кривые и модулярные формы. Каждый из этих объектов возник вполне самостоятельно, но к середине XX века японский исследователь Танияма заметил и изложил в виде гипотезы, что всякая эллиптическая кривая с рациональными коэффициентами является модулярной. Иными словами, между объектами разной природы имеется определенное родство.

В 1985 году немецкий математик Герхард Фрей предположил, что эллиптическая кривая, выведенная из степенного уравнения, не может быть модулярной в условиях, когда теорема Ферма неверна. Другими словами, последняя теорема Ферма является следствием гипотезы Таниямы. Самому Фрею не удалось доказать это утверждение, однако вскоре доказательство было получено американским математиком Кеннетом Рибетом.

Острие доказательства сосредоточилось на анализе соотношения эллиптических кривых и модулярных форм. 23 июня 1993 года математик из Принстона Эндрю Уайлс, выступая на конференции по теории чисел в Кембридже (Великобритания), анонсировал доказательство гипотезы Таниямы для полустабильных эллиптический кривых, к которому относятся кривые вида Фрея. Текст с доказательством гипотезы Таниямы, написанный Уайлсом в сотрудничестве с Тейлором, вышел в свет летом 1995 года.

Считается, что именно этим доказательством проблема вполне закрыта. Впрочем, также считали когда-то Ламе и Коши, пока не вмешался Кумер.

ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ КРИВАЯ

Еще Ферма, один из первых проницательных наблюдателей поведения математических объектов, составил кубическое уравнение вида

x3 – y2 = 2

которое связывает куб и квадрат числа, разделенные между собой только одним целым числом. Оказывается, что помимо пары x=3, y=5 квадратическая и кубическая зависимости нигде более не сближаются на столь минимальное расстояние.

n=16; Y=line(n); {{Z=Y}};
for (x=2;x<n+1;x++){ {{Z=[Z,Y]}}; }
{{X=Z.*Z; X=X.*Z; Y=Z.*Z; D=X’-Y-2}};
D=absm(D); D=rowcol(D,0,n-5,0,4); putm(D);
/* ДИСТАНЦИИ: X – НОМЕР КРИВОЙ, Y – НОМЕР ТОЧКИ */
Y=line(n-5); {{D=[Y,D]}}; plot(D)

Среди эллиптических кривых подобного толка довольно часто цитируется форма Вейерштрасса

y2=x3+g2x+g3
с дискриминантом D = –(4g23+27g32). Заменой переменных она приводится к глобально минимальной форме: это форма, когда степень каждого простого числа входящего в дискриминант не может быть уменьшена и все коэффициенты целые

y2+a1xy+a3y=x2+a2x2+a4x+a6

Кубические уравнения часто рассматривают заданными на числах по модулю (mod p). Если такая частная задача неразрешима, неразрешима и общая. Числа еще более прореживают, выбирая делители дискриминанта. Простые числа, делящие дискриминант, можно объединить в так называемый кондуктор эллиптической кривой (произведение по определенным правилам). Затем выбирают форму приведения, полустабильная форма – одна из таких форм.

МОДУЛЯРНАЯ ФОРМА

Обозначим через H верхнюю комплексную полуплоскость. Пусть N – натуральное и k – целое числа. Модулярной параболической формой веса k уровня N называется аналитическая функция f(z), заданная в верхней полуплоскости и удовлетворяющая соотношению

f(az+b/cz+d)=(cz+d)kf(z),

для любых целых чисел a, b, c, d, таких, что ad – bc = 1 и c делится на N.

Специфическая задача на собственность, в которой преобразование аргумента функции приводит всего лишь к ее масштабированию. Чтобы уметь выделять такие функции, нужно с ними поработать. Вдоль вещественной оси и на бесконечности (если грубо) функция 0.

Пространство модулярных параболических форм веса k уровня N обозначается через Sk(N), оно имеет конечную размерность.

В дальнейшем нас будут особо интересовать модулярные параболические формы веса 2, размерность dim(S2(N)) отлична от нуля и равна 1 для N = 11, 14, 15, 17, 19, 20, 21. При N = 22 размерность 2. Характерно, что f (z + 1) = f (z) для каждой формы f из S2(N), т.е. интересующая нас функция f(z) периодична и представима гармоническим рядом (суммой экспонент). Среди них выделяют собственную модулярную форму с целыми коэффициентами разложения и первым, равным 1.

Танияма заметил как опытный факт, что между модулярными формами и эллиптическими кривыми наблюдается параметрическое соответствие. С тех пор эллиптическая кривая с рациональными коэффициентами и кондуктором N называется модулярной, если для нее найдется собственная форма (с рядом ограничений).

Согласованность движений

ГИПОТЕЗА ЭЙЛЕРА

Тут мы притормозим взмахи исторического маятника, и остановимся на примере, ясно показывающем, насколько проблематично решались подобные теореме Ферма задачи. Эйлер предложил выход из тупика неразрешимости, напрашивающийся ввиду того, что четверка чисел 3, 4, 5, 6 связана сходным выражением

33 + 43 + 53 = 63.

Почему бы степенному уравнению не набирать (для его разрешимости) вместе с показателем степени равное ему количество обязательных слагаемых? В начале прошлого века, казалось бы, нашлось подтверждение (Нори, 1911 год)

304+1204+2724+3154 = 3534.

Спустя полвека свое веское слово сказали, наконец, компьютеры. Контрпример К. Дж. Леидера и Т. Р. Паркина (L. J. Lander, T. R. Parkin, 1966 года) одним росчерком каретки принтера развалил эту красивую гипотезу

275 + 845 + 1105 + 1335 = 1445.

В 1988 году Наум Элькис из Гарвардского университета нашел еще и следующее решение:

26824404 + 153656394 + 1879604 = 206156734

Так компьютерные эксперименты поставили точку на этой попытке пошатнуть исключительное положение квадратичной задачи.

ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА

Одна из великих теорем теории чисел связана с заменой в уравнении для триады чисел квадратичной зависимости на линейную в правой части

x2 + y2 = z.

При внешне чисто декоративной простоте изменения (что тут сильно изменилось со времен древних греков?), решение задачи чрезвычайно усложняется. Описание чисел мультипликативно: любое число с точностью до перестановок представляет собой произведение простых чисел. Изучение сумм объективно затруднено.

Еще Жирар и, позднее, Ферма заметили, что любое натуральное число представляется суммой (не более, чем) четырех квадратов целых чисел. Но и только. В 1749 году, после семи лет работы и почти через сто лет после смерти Ферма, Эйлеру удалось доказать теорему о простых числах, согласно которой разложение числа z на сумму квадратов всегда возможно для чисел 4k+1. Ни одно число вида 4k+3 не представимо в виде суммы двух квадратов. Число, содержащее в своем разложении лишь четные степени 4k+3, может быть представлено в виде суммы двух квадратов.

Если отбросить заведомо не представимые суммой двух квадратов числа, то это 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17, 18, 20, … Известны сложные схемы решения этой задачи, принадлежащие Лежандру, Гауссу, Серру и Якобсталю.

ПРОБЛЕМА ГОЛЬДБАХА

В 1742 году немецкий математик Христиан Гольдбах в письме к своему другу и коллеге Леонарду Эйлеру (переписка опубликована) высказал одно очень простое утверждение: “всякое целое число, большее или равное шести, может быть представлено в виде суммы трех простых чисел”.

Эйлер заметил в ответном письме, что проблема сводится к доказательству того, что каждое четное число есть сумма двух простых. Эта проблема, решения

x + y = z,
получила название “Проблемы Гольдбаха”, и ее доказательство до сих пор не найдено. Правда: какое бы четное число мы не брали, его можно выразить суммой двух простых. Например:

6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, …

Можно взять сколь угодно большое число, и гипотеза окажется верна. Следующий график количества вариантов разложения взят из обзора Тима Скоренко.

Проблема состоит именно в том, чтобы найти общее математическое доказательство утверждения Гольдбаха. Характерно то, что Гольдбах не был светилом математической науки своего времени. За свою жизнь он опубликовал менее десятка некрупных математических работ, хотя две из них – о бесконечных рядах – сделали его достаточно известным в научных кругах. Он родился в 1690-м году и закончил юридический факультет Кенигсбергского университета: математика была всего лишь его хобби.

В 1725-м году Гольдбах приехал в Россию, где получил звание академика Петербургской академии наук, а с 1742 года работал в Коллегии иностранных дел. Он довольно много путешествовал и дружил с многими известными математиками, в том числе с семьей Бернулли. С Эйлером Гольдбах вел дружескую переписку в течение 35 лет, вплоть до своей смерти в 1764 году в Москве. В 1843-м году 177 писем этой переписки были опубликованы. Так или иначе, Гольдбах сформулировал задачу, которая поставила в тупик самого Эйлера.

Затруднительное положение

КОНЕЧНЫЙ НАБОР ЧИСЕЛ­

Числа представляют собой абстрагированное от предметов свойство иметь свое количественное выражение. Ряд чисел бесконечен, это абстракция.

Галуа, играясь с числами, обозначил числа буквами алфавита и составил из них две таблицы: сложения и умножения. В отличие от привычных нам со школы таблиц, в клетках обоих таблиц размещены все те же A, B, C, … Побаловаться может каждый, но изящный ход Галуа глубже: его таблицы составлены так, что несмотря на конечность буквенной символики, все правила той арифметики, которые мы учим в школе, соблюдаются.

То есть, A+B=B+A, A•(B+C)=A•B+A•C и т.д.

Множество элементов, на котором определены две операции, называют полем. В частности, это могут быть числа, а таблицы сложения и умножения содержат в качестве результата операции остаток от деления полученного числа на n. Поля с конечным числом элементов называют полями Галуа по имени их первого исследователя и обозначают GF(n).

Число элементов поля n называют порядком поля. Поле называют простым, если n – простое число. Простое поле образуют числа по модулю n: 0, 1, 2,…, n–1, а операции сложения и умножения выполняются по модулю n. Наименьшее число элементов, образующих поле, равно 2. Такое поле должно содержать 2 единичных элемента: 0 относительно операции сложения и 1 относительно операции умножения.

В качестве элементов могут рассматриваться многочлены с коэффициентами из поля GF(2), например. Произведение двух многочленов A(p), B(p) выводит результат за пределы рассматриваемого набора ввиду его высокой степени. Чтобы “вернуть порядок” в дозволенные границы, надо добавить еще одно уравнение связи для подмораживания переменной p так, чтобы можно было выразить старшую степень через младшие. Это эквивалентно делению на многочлен и нахождению остатка от деления.

Таким образом, имеет место аналогия при формировании поля из чисел и многочленов (или последовательностей чисел – их коэффициентов).

Попытка построить поле GF(4) из A=0, B=1, C=2, D=3 также, как и простые поля GF(2), GF(3), дает таблицы сложения и умножения, из которых видно, что для элемента 2 по операции умножения отсутствует обратный, т. е. набор чисел 0, 1, 2, 3 не является полем при введении операции по модулю 4.

 

+
A
B
C
D
A
A
B
C
D
B
B
A
D
C
C
C
D
A
B
D
D
C
B
A
A
B
C
D
A
A
A
A
A
B
A
B
C
D
C
A
C
D
B
D
A
D
B
C

 

Поле GF(4) не удается построить над множеством чисел, но существует путь построить его над расширенным полем, используя многочлены.

В более узконаправленной теории групп выделяют бинарную операцию, оставляя во внимании единичку, обратный элемент и ассоциативность (независимость порядка применения операции к элементам). Таковы целые числа с операцией сложения. Группа, в которой любые два элемента коммутируют, называется коммутативной или абелевой, см. WIKI.

Первая из табличек Галуа носит название четвертной группы Клейна (классификация от 1884 г.), ее образуют, например, приведенная система вычетов по модулю 8, состоящая из классов 1,3,5,7, обозначают V4, см. WIKI.

Теория полей и теория групп смыкаются – важнейшим свойством конечных полей является следующее. Множество всех ненулевых элементов конечного поля образует группу по операции умножения, т. е. мультипликативную группу порядка n–1. Группа, которая состоит из всех степеней одного из ее элементов, называется циклической группой. Группа не циклическая – элементы – не степени.

Любая перестановка элементов B,C,D не меняет этой таблицы умножения в целом – группа переходит в себя (то есть осуществляет некоторый гомоморфизм, к тому же все перестановки обратимы, поэтому это гомоморфизм, являющийся биекцией, то есть изоморфизм, да к тому же это еще изоморфизм группы в себя, то есть автоморфизм).

При автоморфизме нейтральный элемент A всегда должен переходить в себя, поэтому никаких других автоморфизмов быть не может, S3 (симметрическая группа перестановок трех элементов) и есть искомая группа автоморфизмов, и т.п., см. Заметки.

Еще у древних греков набор обозначаемых ими чисел был конечен, но ими же доказана бесконечность ряда простых чисел. С тех пор бесконечность не декларировалась, но подразумевалась, как нечто само-собой разумеющееся. Данное от природы. Ведь законы арифметики не столько изобрели, сколько открыли, создается ощущение, что они существуют сами по себе, как независимая от разума данность.

Галуа обратил внимание, что разум не все берет у природы. Открытые в ходе исследования операций над обычными числами законы арифметики не изменятся, если содержание операций сложения и умножения изменить с целью не выходить за пределы заданного конечного набора чисел. Их, эти законы, тоже можно было бы переоткрыть, но теперь уже есть автор таблиц.

Привычные правила арифметики важны лишь постольку, поскольку они сокращают выкладки и способствуют решению задач. Забираясь в абстрагирование дальше, можно и сами эти правила менять. В теории сравнений важное место отводится теоремам Ферма и Эйлера, вычетам, символам Лежандра и закону взаимности.

ПОЛЯ ГАЛУА
ТЕОРИЯ СРАВНЕНИЙ

Можно не отбрасывать лишние числа, как в таблицах выше, а договориться, что часть из них обозначает одно и то же, как тут показано (конечные объекты нумерует нижний ряд)

 

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
 …
0
1
2
0
1
2
0
1
2
0
 …

 

В новой арифметике количество различных между собой чисел нижнего ряда называют модулем, для таблицы модуль p=3, а когда хотят сопоставить числу верхнего ряда обозначаемый им предмет (число нижнего ряда), пишут так

4 = 1 (mod 3)

Кроме того, равенство a = b (mod p) означает, что a – b делится нацело на p. Поскольку числа, равные или большие по значению p, всего лишь обозначения, их заменяют по итогам сравнения числами из диапазона 0, 1, … , p–1.

Если матерчатый метр, который используют портные, намотать на палец, то возникает примерно такая же система чисел. В геометрии Евклида, с которой все начиналось, можно совершить не более чем четыре поворота на прямой угол. Калитка может быть открыта или закрыта.

Конечность принимаемых во внимание элементов тут обычна. Ситуация типичная, поэтому разработка для нее ветви теории чисел важна. Первый шаг в эту сторону сделан был алгоритмом Эвклида, принесшим представление о фракциях и об остатках.

Существует объемный перечень свойств сравнения, используемый в выкладках с ними: cравнения по одинаковому модулю можно почленно складывать и перемножать, слагаемое, стоящее в какой-либо части сравнения, можно переносить в другую часть, изменив его знак на обратный, и т.п. С их помощью решается линейное сравнение

сa = b (mod p),
относительно a при взаимно простых с,p с помощью соотношения Безу cx+py=1 или cbx+pby=b, которое по модулю утрачивает слагаемое: cbx=b (mod p). Следовательно, a=cx (mod p) – выражается через один из коэффициентов Безу. Китайская теорема об остатках дает рецепт для решения систем линейных уравнений, при разных модулях.

ЕЩЕ ОДНА ТЕОРЕМА ФЕРМА

Степенные функции конечных наборов чисел исследовал Ферма. Разместим в нижнем ряду значения по модулю p = 3 квадратов a2 чисел верхнего ряда

 

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
 …
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
 …

 

Уже тут видна закономерность: единицы нижнего ряда. Ферма доказал, что это свойство справедливо для любого простого числа p и любого a (не сравнимого с нулем)

ap – 1 = 1 (mod p).

Эйлер привел теорему в более общей формулировке, для любого числа p в условиях прежней теоремы

a?(p) = 1 (mod p),
где ?(p) – функция Эйлера: количество чисел, меньших p и взаимно простых с p. Так p = 20 взаимно просто с 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19, т.е. ?(20) = 8.

В теореме Ферма ?(p) = p – 1. Пусть a=5 и p=11 взаимно просты, p – простое, ?(p) = p – 1 = 10. Тогда 510 = 1 (mod 11). Среди показателей степени с аналогичными свойствами есть минимальный, его называют порядком числа a.

ВЫЧЕТЫ

Согласно теореме Ферма, степенное уравнение

ap – 1 = 1 (mod p).
разрешимо относительно любых значений a диапазона 1, 2, 3, … , p–1, если p – простое число. Таким образом, при единичной правой части проблем с отысканием корней высокой степени не возникает. Другое дело, например, искать квадратичные корни

a2 = b (mod p),
для всех ненулевых значений правой части b из числового диапазона 1, 2, 3, … , p–1. Они могут быть или не быть. Вместе с тем, квадратичные зависимости исследовать важно, квадратичные корни из 1 и –1 в теории комплексных чисел образуют алгебру двух образующих.

Эта задача решается элементарным перебором. Построим таблицу квадратов по модулю p=13 последовательности натуральных чисел

 

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
 10
 11
 12
0
1
4
9
3
 12
 10
 10
 12
3
9
4
1

 

Наверху цветом помечены числа, которые фигурируют в обоих строчках таблицы. Квадратичные уравнения с правыми частями 1, 3, 4, 9, 10, 12, их называют вычеты, разрешимы в целых числах. Остальные числа 5, 6, 7, 8, 11 – квадратичные невычеты. В терминах алгоритма Евклида, вычеты, это остатки, которыми заменяются степени чисел, выходящие за пределы диапазона.

Так как правые части и квадратичные корни размещены в одном и том же ряду ограниченной линейки чисел, возникает толкование вычетов как корней a, которые встречаются в правой части совместного сравнения. Это видно по верхней части таблицы, содержащей корни. Такая трактовка употреблена в критерии Эйлера, мы будем ее придерживаться.

Вычеты помечают эквивалентные по ним числа, способствуя разбиению множества на классы эквивалентности. Существуют понятия полной и приведенной систем вычетов размеров p и ?(p). В верхнюю строчку таблицы для нахождения вычетов можно включать отрицательные числа, отстоящие друг от друга числа, вещественные или иррациональные числа. В нижнюю – линейную, квадратичную и прочие функции.

СИМВОЛЫ ЛЕЖАНДРА

Свойство числа быть или не быть вычетом по модулю p напоминает булеву функцию со значениями ±1. Сохранилось идущее от Лежандра дробное обозначение ее (a/p), удобное для алгебраических выкладок, поскольку она обладает мультипликативным качеством (ab/p) = (a/p)(b/p). В точке 0 значение функции приравнивается 0.

Вектор символов Лежандра несет информацию об индексе его элемента, изменяющемся в диапазоне от 0 до p–1: элемент равен 1, если индекс – вычет. Переборный алгоритм поиска вычетов учитывает известную симметрию нижней части квадратичной таблицы относительно середины всего диапазона.

p=13;

L=legendre(p); puts(L);
n=line(21); {{g=[n,L]}}; plot(g,’2L’);

function legendre(p) {
var a,a2,p2,L; L=one(p); {{L=-L}}; p2=floor(p/2)+1;
for (a=1;a<p2;a++){ a2=a*a; L[a2-floor(a2/p)*p]=1; }
L[0]=0; return L;
}

ВЫЧЕТЫ ПЭЛИ

Давно известно подобие арифметик чисел и полиномов. Обстоятельство важное, само по себе, но есть еще одна интерпретация, наделяющая символы Лежандра регулярной структурой. Рассмотрим в качестве конечного набора элементов девять полиномов, например, таких

0, 1, ?1, x, x+1, x?1, ?x, ?x+1, ?x?1

Этот вектор отвечает также наборам чисел (не обязательно целых), построенных из значений отмеченных полиномов. Раймонд Пэли оставил в этом множестве иррациональные числа – корни a=–(1–?5)/2=0.618.., b=–(1+?5)/2=–1.618… хорошо известного в теории золотого сечения неприводимого к простым множителям многочлена

x2 + x – 1=0.

Образуется система квадратичных вычетов: (±1)2=1, (±x)2=?x+1, (±(x+1))2=x?1, и (±(x?1))2=–1. Как видно, числа x и x+1, –x и –x–1 представляют собой невычеты.

Показатель p=9 представляет собой произведение двух простых чисел (троек), соответственно цепочка символов Лежандра распадается на триады (0, 1, 1), (–1, –1, 1), (–1, 1, –1). Сегментированные символы Лежандра нашли применение в практике построения блочных ортогональных матриц, для которых моноблоков не существует.

ЗАКОН ВЗАИМНОСТИ

К упрощающим задачу приемам относится квадратичный закон взаимности, сформулированный Гауссом для двух простых чисел a и b, имеет вид

(a/b)(b/a) = (–1)AB,

где A = (a – 1)/2, B = (b – 1)/2. Закон взаимности используется для смены основания символов Лежандра в примерах, где трудоемкость перебора существенно зависит от величины нижней части.

Подобного сорта закономерности не имеют самостоятельного звучания, как и соотношение Безу. Есть и другие, похожие. Сравнение полинома произвольной степени f(x) = 0 (mod p), где р – простое число, равносильно некоторому сравнению степени не выше p–1. Разнообразие решений накладывает жесткие ограничения на коэффициенты полинома, которые должны быть кратны p.

Существуют доказательства огромного числа сравнений для симметрических многочленов. Эти задачи тесно связаны с проблематикой, касающейся представления натуральных чисел в виде сумм степеней других натуральных чисел. Всякое натуральное число представимо в виде суммы четырех квадратов, девяти кубов (число 9 не может быть уменьшено), 21 штуки четвертых степеней и т.п.

КРИТЕРИЙ ЭЙЛЕРА

Теорему Ферма можно переписать, взяв корень квадратный из левой и правой части степенного уравнения, так что

aP = ±1 (mod p),
где P = (p – 1)/2 (половина степени), можно заметить, что четные и нечетные значения P отвечают значениям p=4k+1: 1 5 9 13 17 21 .., p=4k+3: 3 7 11 15 19 23 …

Правую часть, принимающую значения ±1, Эйлер заменил символом Лежандра, получив критерий для оценки разрешимости квадратичных сравнений

(a/p) = aP (mod p).

Тот факт, например, что сравнение a2 + 1 = 0 (mod p) разрешимо для p=4k+1 и неразрешимо для p=4k+3, отмечал еще Ферма. Из критерия Эйлера это следует автоматически: –1 – квадратичный вычет для четных значений P и квадратичный невычет – для нечетных.

Эйлер пожимает руку Кулибину на строительстве его арочного моста

В СССР кинорежиссером С.Л. Райтбуртом на тему доказательства теоремы Ферма создан научно-популярный фильм.

 

ИНТЕРНЕТ-ЛИТЕРАТУРА

Обзоры: Тихомиров – великие теоремы прошлого | WIKI: Теоремы | Вапедия: теория чисел | Дон Цагир. ПЕРВЫЕ 50 МИЛЛИОНОВ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ [2] | Трансцендентность.

Страницы истории: Смирнова. Пифагор: WIKI, Кантор – Пифагор. Архимеду приписывают труд, под названием “Исчисление песчинок”. Преимущество сети то, что на него можно посмотреть. На связи алгебры с геометрией построены иллюстрации, находимые у Башмаковой (Диофант), Крафта. Диофантово уравнение [2].

Ферма обнаружил, что повышение порядка несовместимо с целочисленностью – это ведь уравнения кривых или поверхностей, которые умудряются располагаться между точками решетки. Слалом, в области чисел. Ферма оговорился, что видит простое доказательство слалому. Параметрические решения иллюстрируются кривыми и точкам на сетке, которые они высекают. Так, например, экспонента проходит всего через две целочисленные точки 0 и 1. См. Кирсанов – теорема Ферма. Теореме Ферма посвящен бестселлер Саймона Сингха | Эллиптические функции.

О роли уравнения Пелля : обзор Бугаенко В.В., сайт Гаршина, кратко вики-заметки, задача Архимеда о быках (последняя задача “древних греков” сводится к квадратичному уравнению, что и заметил Ферма). Уравнение Пелля позволяет находить автоморфизмы бинарных квадратичных форм [2]. Дарио Альперн балуется тем, что загнал квадратичное уравнение в сетевую машину, см. Dario Alpern’ Solver. Полиномиальный случай тривиален, поскольку корней и без того мало, их можно отыскать элементарным перебором, исходя из соображения, что все они принадлежат к делителям свободного члена. Но уже квадратичное уравнение с двумя неизвестными, появляется свобода, решается заметно сложнее. То же уравнение с тремя неизвестными – это уже область Ферма.

СУДЬБЫ МАТЕМАТИКОВ | СЕРПИНСКИЙ | ГЕЛЬФОНД | ЖУРНАЛ 1959

Теории чисел посвящена сетевая книга Сергея Викторовича Сизого.. 2004 год, Джон Стилвел набирает сам книгу в LaTeX. Среди повествований о теории чисел – Гидинкин, о малой теореме Ферма. Размышление о математике с позиций кризиса ее, Морис Клейн. Поля Галуа описаны в пособии. См. Алгоритмы

В шестидесятых годах на русском языке опубликована книга президента Лондонского математического общества Гарольда Дэвенпорта. Примерно тогда же изданы книги Вацлава Серпинского и Александра Осиповича Гельфонда, Ойстина Оре. Много любопытного у Роджера Пенроуза. Полезно знать кто такой Морделл Луис Джоел.

В школьном возрасте на Юрия Ивановича Манина большое влияние оказала книга Ивана Матвеевича Виноградова «Основы теории чисел» и в 15 лет он отослал Виноградову полученное им обобщение формулы для числа целых точек в круге. В 1953 окончил среднюю школу с золотой медалью и поступил на механико-математический факультет МГУ. Теперь мы можем почитать уже его видение теории и составных частей, см. “Введение в теорию чисел”.

Давенпорт, Дэвенпорт (Davenport) Харолд (30.10.1907, Акрингтон, 9.6.1969, Кембридж), английский математик, член Лондонского королевского общества (с 1940), в 1957-59 президент Лондонского математического общества. Автор работ по аналитической теории диофантовых уравнений. Наиболее значительны работы Д. по оценке тригонометрических сумм и характеров в конечных полях, оказавшие значительное влияние на современную алгебраическую теорию чисел.

В теории групп выделяют бинарную операцию, оставляя во внимании единичку, обратный элемент и ассоциативность (независимость порядка применения операции к элементам). Таковы целые числа с операцией сложения. Группа, в которой любые два элемента коммутируют, называется коммутативной или абелевой, см. WIKI.

Первая из табличек Галуа носит название четвертной группы Клейна (классификация от 1884 г.), ее образуют, например, приведенная система вычетов по модулю 8, состоящая из классов 1,3,5,7, обозначают V4, см. WIKI. Группа не циклическая (элементы – не степени). Любая перестановка элементов B,C,D не меняет этой таблицы умножения в целом – группа переходит в себя (то есть осуществляет некоторый гомоморфизм, к тому же все перестановки обратимы, поэтому это гомоморфизм, являющийся биекцией, то есть изоморфизм, да к тому же это еще изоморфизм группы в себя, то есть автоморфизм). При автоморфизме нейтральный элемент A всегда должен переходить в себя, поэтому никаких других автоморфизмов быть не может, S3 (симметрическая группа перестановок трех элементов) и есть искомая группа автоморфизмов, и т.п., см. Заметки.

СНЕЖИНКИ КЕПЛЕРА | ЭЙНШТЕЙН О КЕПЛЕРЕ
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

Г.Г. Харди Апология математика из сборника Абрамочкина Евгений Григорьевича. Вычислительная математика: С. Шарый | Райс Джон | C. Белов и Н. Золотых.

Справочник пакета МАТЕМАТИКА | ЗЕНОН | ДЕКОДЕР СИМВОЛОВ | КИРИЛЛИЦЫ
ТАЙНЫ ХОРЕЗМА

Территорию древнего Хорезма часто называют “среднеазиатским Египтом”. И, надо сказать, это весьма подходящее сравнение.

Не много в мире найдется мест, где на сравнительно небольшой территории было бы сконцентрировано такое количество памятников древней архитектуры. Одних только крепостей насчитывается здесь более десятка. И так же, как египетские пирамиды, они ошеломляют человека, впервые оказавшегося в непосредственной близости от них. У стороннего наблюдателя или путешественника сразу же рождается множество вопросов: как древние строители при отсутствии какой-либо строительной техники могли возвести все эти грандиозные сооружения? Благодаря чему многие постройки сохранились до наших дней? А ведь возраст большинства из них – две тысячи лет.

Результаты работы хорезмцев потрясают. Взять хотя бы грандиозный комплекс Топрак-Кала (Земляной город), стены которого тянутся более чем на километр. Это был целый город, в котором историки насчитали не менее десяти кварталов. Город начал возводиться в I веке нашей эры. Так как строился он на равнине, для защиты от нападений его непременно должна была окружать высокая стена. И она была сооружена. Высотой до 10 метров! Только представьте себе масштаб строительства: сотни людей участвовали в насыпных работах, а параллельно с этим на самом высоком месте возводился еще и красавец замок.

Работали древние строители поистине ударными темпами. Два-три месяца – и крепость была готова. Зодчие четко знали свое дело и прекрасно разбирались в качестве строительного материала. То ли природа давала мастерам отменное сырье, то ли сами они владели какими-то ныне уже утраченными секретами изготовления высокопрочных сырцовых блоков и кирпичей, но построенные из этих самых блоков и кирпичей крепостные стены прекрасно выдержали испытание временем, атаки ветров, дождей, 50-градусный зной, налеты войск арабского полководца Кутейбы, захватившего Хорезм в 712 году, а потом и нашествие монгольских полчищ. Многие древние крепости выглядят так, будто были покинуты своими обитателями только вчера.

И удивительно то, что, несмотря на свою величественность и хорошую сохранность, о самом существовании этих крепостей сегодня известно только узкому кругу специалистов. Летопись мертвых городов этого государства пестрит нерасшифрованными страницами, которые обязательно рано или поздно будут прочитаны. Есть пример: трудно поверить, что еще в начале XIX века науке было мало известно о древней истории Египта, Вавилона, Ассирии, а сейчас мы знаем о прошлом этих могущественных империй довольно много. Возможно, и история древнего Хорезма со временем приоткроет свои тайны.

АББАСИДЫ

Аллах для всего установил должную меру. (Сура ‘Ат Таляк’, 65:3)

… В творении Всемилостивого (Аллаха) ты не найдешь ни доли нарушений и несоответствий. Вновь обрати взор свой вокруг, видишь ли ты какой-нибудь изъян? И вновь свой взор ты обрати: вернется он униженным и тщетным (не найдя ни доли несоответствия). (Сура ‘Аль Мульк’, 67:3-4)

Священный город Мекка расположен километрах в семидесяти от побережья Красного моря, на границе гористого Хиджаза и знойной Тихама. Область Мекки крайне засушлива и совершенно непригодна для земледелия. Однако источник пресной воды – Замзам (семь-семь) и расположение на торговых путях сделали это место привлекательным для поселения. Здесь находится древняя святыня, храм (богини Иштар?), – Кааба, восстановленный Ибрахимом.

Согласно Корану, испытание Господом Ибрахима (Авраама) его сыном и первенцем связано не с Исааком, как в Библии, а с сыном от его рабыни Хаджар, Исмаилом. Данное происшествие положило начало празднику жертвоприношения (Курбан-байрам), одного из священных праздников мусульман. Будучи потомком пророка Исмаила (арабом-аднанитом), пророк Мухаммед отличался от других арабов (кахтанитов) более светлым цветом кожи.

В имени Исмаил улавливаются отзвуки культа богини Исиды, египетского варианта богини Иштар, а Хаджар – воплощение земной женщины, зачавшей от полубога.

Через Мекку в древние времена проходили караванные пути из Сирии, Египта, Индии, Китая. Город, защищенный со всех сторон горами, был удобным для проведения ярмарок. В городе было всегда много паломников, привлекаемых целебным источником «Зам-Зам» и священным камнем «Аль-Хаджар аль-асвад», установленным в стену Каабы – колодца, который полагалось обходить семь раз. Обычай таскать с собой все необходимое для жизни, включая камни под котел, источник пищи, молиться на них, трепетное отношение к камням и к очагу, все это естественно, если вспомним, что речь идет об аравийской пустыне.

Со временем колодец засыпали, стены подняли, так что никто не помнит толком, зачем они возведены. Полагается, что еще Ибрахим с сыном застали тут древний храм, и не поленились восстановить его, для чего Исмаилу пришлось таскать булыжники с себя и более весом со всей округи и катить их к отцу. “Камень радуги” плавал в воде, чем настолько поразил воображение Исмаила, что он встроил его на самый верх, в угол колодца. Все это происходило во времена мифические, а во времена легендарные навещать колодец стало традицией.

Хашим, дед Мухаммеда, при жизни было право на сбор скота для питания паломников и право на владение источником. Свое прозвище «Хашим» (его звали Амр) он получил из-за того, что разламывал хлеб на куски для паломников, приезжавших в хадж в Мекку («хашима» – разламывать хлеб для тюри). После его смерти право на кормление и поение паломников перешло к его брату, аль-Мутталибу, которого курайшиты называли аль-Файда – «сама щедрость». У Хашима был сын Абд аль-Мутталиб, которого назвали Шуайба.

Ныне Кааба изготовлена из гранита и покрыта сверху тканью, а внутри нее располагается помещение, куда ведет сделанная из чистого золота дверь, которая весит 286 килограммов. В восточный угол Каабы на уровне полутора метров вмонтирован черный камень (аль-Хаджар аль-Эсвад), окаймленный серебряным ободом. Это камень неправильной овальной формы черного цвета с алым оттенком. На нем есть красные пятнышки и желтые волнистые линии в местах соединения отколовшихся частей. Диаметр камня составляет около тридцати сантиметров.

По преданию, Каабу построил первый человек – Адам, но она была разрушена Всемирным потопом, и даже место, где она стояла, было забыто. Восстановили святыню патриарх Авраам (Ибрагим) с сыном Исмаилом, родоначальником местных народов. Авраам строил Каабу при помощи одного чудесного приспособления. Это был плоский камень, на котором стоял праотец Авраам, и этот камень мог летать над землей и подниматься на любую высоту, выполняя функцию мобильных строительных лесов. Он сохранился, находится в нескольких метрах от Каабы и называется Макам Ибрагим (место стояния Ибрагима) и, несмотря на то что давно утратил свои летные свойства, также является святыней мусульман. На нем остался отпечаток ступни Авраама-Ибрагима. Над этим камнем со временем был возведен купол.

Камень в стене знаменует начало обхода – тавафа – коих надлежит совершить семь, находясь левым боком к святыне, четыре раза быстрым шагом и три раза – медленным.

Мекка подвергается периодическим затоплениям, поэтому за четырнадцать веков храм многократно восстанавливался. По всем признакам Черный камень Кааба – тектит – пористое стекло, образовавшееся из песка в результате взрыва громадного метеорита в Аравийской пустыне. Оно достаточно твердое и хрупкое, может плавать в воде и имеет включения белого стекла. Самый большой из найденных в пустыне железных метеоритов весит более двух тонн и называется Верблюжий Горб. Он был обнаружен научной экспедицией в 1965 году и позже был выставлен на обозрение в Королевском университете аравийской столицы Эр-Рияда.

Главным чудом Мухаммеда мусульманские богословы считают Коран. Человечеству за всю его средневековую, новую и новейшую историю не удалось написать ничего подобного Корану. Выдающиеся художественные достоинства Корана безусловно признаны всеми знатоками арабской словесности. Как раз это и является чудом, потому как пророк был безграмотен. Отец его Абдалла не дожил до рождения сына, а мать его Амина умерла, когда он был еще ребенком. Магомет был воспитан сначала своим дедом, а после его смерти своим дядей по отцу, Абу-Тал’ибом. С ним обращались хорошо, но ему пришлось разделять тяжелую жизнь многочисленной и очень бедной семьи, пасти овец и собирать дикие ягоды в пустыне.

На 25-м году от роду Мухаммед (Магомет), по рекомендации своего дяди, занялся делами богатой вдовы Хадиджи. Он предпринимал по ее поручению торговые путешествия, побывал в разных частях Палестины и Сирии и вероятно воспринял впечатления, которые обогатили его ум. Через некоторое время он женился на вдове, которая была гораздо старше его. Мухаммед был человек остроумный, привлекательной наружности, имел черные волосы и белый цвет лица; Хадиджи искренно любила его. Супружество было счастливым и от него произошло несколько детей. Два сына Мухаммеда умерли в детстве, а из дочерей самой известной была Фатима, вышедшая замуж за двоюродного брата своего отца, Али.

До своего сорокалетия Мухаммед провел жизнь в качестве богатого, всеми уважаемого и изворотливого торговца. Склонный к уединению и размышлениям в пустыне, он бродил в полном одиночестве и однажды на горе Гире ему привиделся ангел Гавриил (Джабраиль). Когда ангел скрылся – так гласит предание далее – Мухаммед пришел к Хадидже и рассказал ей о случившемся с горестью, так как считал себя одержимым. Она стала утешать его и внушила ему, что он получил откровение и призван быть послом Господа.

Но сомнения снова вернулись к Мухаммеду, когда не последовало продолжения откровения. Сомнения эти доводили его несколько раз до такого отчаяния, что он готов был броситься вниз с горы Гиры. Обыкновенно полагают, что это состояние длилось два или три года. Затем ангел, по преданию, явился ему вторично. Мухаммед пришел к Хадидже в большом волнении и просил ее покрыть его, вероятно падая в обморок. Во время припадка он получил суру, начинающуюся словами “О ты покрытый!” и призывающую его встать, идти проповедывать и прославлять Господа.

Он был жестоко осмеян и публично объявлен сумасшедшим. Дети показывали на него пальцем, а женщины бросали в него грязь и камни. Он был изгнан из своего родного города, Мекки, а его последователи отрешены от всего земного и выгнаны в пустыню вслед за ним. За первые десять лет пророческой деятельности Магомет не получил ничего, кроме насмешек и издевательств, нищеты и страданий. Но прошло еще десять лет, и он стал правителем всей Аравии, руководя ею из Мекки, главой новой мировой религии, которой суждено было распространиться от Дуная до Пиренеев. Сила, движущая ее, покоилась на трех китах: могуществе слова, силе молитвы и родстве человека с Богом.

По свидетельству современников, пророк Мухаммед был широкоплеч, рост у него был средний, кисти рук и ступни крупные. Борода у пророка Мухаммеда была густая, рот и глаза большие. На руке у него было серебряное кольцо с надписью «Мухаммед – Посланник Аллаха». Голос пророка Мухаммеда был немного хриплым, говорил он красноречиво, коротко и ясно, иногда повторяя какую-нибудь фразу трижды для того, чтобы люди смогли точно запомнить его слова. Он часто улыбался, а иногда смеялся так, что были видны его коренные зубы.

Притесняемый мекканцами-язычниками, в 622 году он переселился из Мекки в Ясриб, который после этого стал называться Мединой (эта дата – хиджра (переезд) – является началом мусульманского календаря), а затем вместе со своими приверженцами завоевал Мекку. Столетняя экспансия арабов c завоеванием всей Северной Африки после смерти Мухаммеда в 632 году началась с наказания вероотступников. Наказующие перессорились между собой, и на время их сменили Омейяды, которые управляли Месопотамией, вторглись в Армению, и к 640 году завершили завоевание Византийской Сирии.

Дамаск стал столицей Арабского халифата. К концу 641 года весь Египет был под властью арабов. С уничтожением персидской армии в сражении при Нехавенде в 642 году, завоевание Сасанидской империи было по существу закончен. Далее это государство распалось в связи с неясностью, какую долю должны платить побежденные в государственную казну. Сторонники поощрения тех, кто перешел в “истинную веру”, победили ввиду практической целесообразности их предложения в глазах многочисленных побежденных.

Столь верно выбранная позиция в ожесточенной борьбе за власть с Омейядами принесла победу потомкам Хашима ибн Абд ад-Дара, деда пророка Мухаммада, включая его самого, – хашимитам. К числу хамишитов относились Аббасиды. От них пошла вторая (после Омейядов) династия арабских халифов (750-1258), происходившая от Аббаса ибн Абд аль-Мутталиба, дяди пророка Мухаммеда. Они свергли Омейядов, по всему халифату, кроме Аль-Андалузии. Начали свое правление в городе Карры в 750 году, а в 762 году перенесли столицу в Багдад.

Мухаммед оставил после себя книжное наследие, сборник его высказываний, что способствовало распространению арабского языка в качестве культурного посредника, усвоению арабской терминологии исламизированными неарабами при арабском происхождении династии. За всем этим скрывалась постепенная утрата арабами численного перевеса в аббасидской центральной администрации. Побежденные персы, точнее, хорасанцы, многие из которых были приняты в семью Аббасидов в качестве “сыновей”, сформировали в начале правления новой династии военное ядро империи. Современные династии иорданских и марокканских королей считаются хашимитскими.

Победа Аббасидов, таким образом, означала оттеснение арабов на второй план, но отнюдь не их устранение. Все верующие были равно отдалены от властителя, который отныне правил не как первый среди равных (protosymboulos, по выражению византийских историков) в силу своей принадлежности к арабской аристократии, а, подобно королю-богу, являл подданным символ религиозной власти, находясь от них на внушающем трепет расстоянии и держась в изоляции в качестве представителя божественного порядка.

Перемены в статусе халифа положили конец и его тесным связям с арабской аристократией. Ни один человек не мог быть по положению равен Аббасидам; поэтому они женились только на рабынях; после 800 г. ни один халиф не был рожден свободной матерью.

Багдад был основан на западном берегу реки Тигр 30 июля 762 года. Строительство этого города, изначально столицы государства Аббасидов, началось по распоряжению халифа Абу Джафар аль-Мансура. Первое название, данное столице, – Мадина-эль-Мудаввара, что в переводе означает «город-круг» и связано с его планировкой, имеющей и по сей день круглую форму. После окончания строительства основатель города назвал его «городом мира», в арабском варианте – Мадина-эс-Салам. Однако впоследствии за иракской столицей закрепилось название, которое она носит и до настоящего времени; оно переводится с древнеперсидского примерно как «богом данный» или «божий дар».

В памяти общины правление Харуна ар-Рашида (786-809) было золотым веком Халифата. Можно согласиться с этой оценкой, не причисляя его, однако, к великим правителям, так как ему недоставало ни суровой энергии Мансура, ни интеллектуальной тонкости Мамуна. Двор, семья халифа, его домашние слуги, охрана и придворные были центром империи; пребывание возле правителя определяло высокое положение и влияние. Его благоволение поднимало слугу из ничтожества, его нерасположение вновь ввергало в ничто. Халиф мог мгновенно уничтожить любого своего врага, причем иногда публичная казнь происходила прямо в тронном зале. “Стоит им кого-нибудь заподозрить – и он уже виновен” (Расин).

Арабские войска, в первую очередь бедуины, продолжали играть значительную роль, особенно в борьбе за власть в провинциях. Халиф Мамун считал не только неразумным, но и невозможным всецело опираться на хорасанцев. Постепенно халифская профессиональная армия все больше стала комплектоваться из полуцивилизованного или полуисламизированного населения приграничных областей – курдов, дейлемитов, армян-христиан, а главное – центральноазиатских тюрок, единственного народа, легко на это соглашавшегося и достаточно многочисленного. Это неизбежно вызвало напряженность в Багдаде и привело к необычайно быстрому росту тюркского влияния при дворе. Чтобы устранить трения между тюрками и коренным населением Багдада, ал-Мутасим в 838 г. перенес свою резиденцию в Самарру, грандиозный город, выстроенный примерно в ста километрах севернее.

Халиф, находившийся в изоляции, все более и более превращался в игрушку в руках тюркских офицеров. По 892 годы столицей халифата был этот город, затем все вернулось на круги своя. В IX–X вв. Багдад превратился в наиболее крупный культурный и экономический центр ближневосточных территорий.

В.С. СОЛОВЬЕВ | МАГОМЕТ | ПРАВЕДНЫЙ ХАЛИФАТ | ЭКСПАНСИЯ | АБАССИДЫ | [2]
“ВОЛШЕБНИК” ИЗ БАГДАДА

Я составил краткую книгу об исчислении
алгебры и алмукабалы, заключающую в себе
простые и сложные вопросы арифметики,
ибо это необходимо людям.

Ал-Хорезми

Новая арабская династия Аббасидов, распрастранившая свою власть на огромной территории от Испании до Средней Азии, заложила недалеко от развалин Вавилона новую столицу Багдад с множеством дворцов, мечетей и домов, с узкими восточными улочками.

Земледелие требовало ирригационных работ, а длительные военные походы и обширная торговля с соседними странами – знания географии, что в свою очередь связано с развитием астрономии и математики. Это и была одна из причин, заставивших багдадского халифа покровительствовать наукам. Они стали приглашать в Багдад виднейших ученых из покоренных стран.

В начале девятого века в числе других ученых в Багдаде оказался и среднеазиатский математик Мухаммед бен Муса ал-Хорезми, называемый также ал-Маджуси.

Что же скрывается под этим именем? Имя ал-Хорезми указывает на его родину – среднеазиатское государство Хорезм (ныне территория Узбекистана), бен Муса значит “сын Мусы”, а одно из прозвищ ученого – ал-Маджуси – говорит о его происхождении из рода магов (по-арабски “маджусь”). Это показывает также, что одним из источников знаний Мухаммеда ал-Хорезми была наука доисламской Средней Азии, хранителями которой были маги.

Сведения о жизни и деятельности ал-Хорезми, к сожалению, почти не сохранилось. Известно лишь, что он возглавлял в Багдаде библиотеку Дома мудрости, своего рода Багдадской академии, при халифе ал-Мамуне. А при другом халифе ал-Васике, преемнике ал-Мамуна, он возглавлял экспедицию к хазарам. Но остались арифметический трактат “Книга об индийском счете”, алгебраический трактат “Краткая книга об исчислении аль-джебры и алмукабалы”, астрономические таблицы и географический трактат. Оба математических трактата были переведены на латинский язык средневековой Европы и служили долгое время основными учебниками по математики.

Имя ал-Хорезми в видоизмененном виде Algorithmus превратилось в нарицательное слово “алгоритм” и сначала означало всю систему десятичной позиционной арифметики. Впоследствии этот термин приобрел более широкий смысл в математике как правило выполнения операций в определенном порядке. Вспомним, к примеру, алгоритм Евклида или алгоритм решения квадратного уравнения.

Слова “аль-джебр” и “алмукабала”, стоящие в заглавии алгебраического трактата, означали две простейшие алгебраические операции при решении уравнений. От слова “аль-джебр” произошел термин “алгебра”. Если провести запись при помощи современной символики, то эти два действия можно пояснить на следующем примере. Пусть дано уравнение 6x–13=5x–8. Прибавив к обеим частям по 13 и 8, совершим действие “аль-джебр”. Получим 6x+8=5x+13. Отнимая от обеих частей по 5x и по 8, совершим действие “альмукабала” и в результате получим x=5. Таким образом действия “аль-джебр” и “алмукабала” заменили собой присменяющийся ныне перенос членов уравнения из одной части уравнения в другую с приведением подобных членов.

Эти две операции позволили ал-Хорезми приводить всякое алгебраическое уравнение первой и второй степени к каноническим формам, которых у ал-Хорезми шесть:

bx=c, ax2=с, ax2=bx, ax2+bx=c, ax2+c=bx, ax2=bx+c.

Все эти уравнения записывались им словестно, коэффициенты a, b и c рассматривались только положительными.

Понятно, что решение этих уравнений ал-Хорезми выражал в виде словестных правил. Но если их перевести на наш современный математический язык, то получим формулы, по которым можно найти корни уравнений. Например, ришение уравнения “квадрат и десять вещей равны 39″, то есть x2+10x=39, получалось следующим образом: чертили квадрат, сторона которого равна неизвестной вещи, а площадь, следовательно, равна квадрату; далее чертили два примыкающих к нему прямоугольника, длина которых равна вещи, ширина половине десяти, то есть пяти. Площадь обоих прямоугольников 10x. По условиям площадь полученной фигуры равна 39. Эта фигура дополнялась до полного квадрата квадратом, сторона которого равна 5, а площадь 25. Получилось, что площадь всего квадрата равна 39+25=64. Значит сторона его равна 8, а вещь равна 8–5=3.

В отличии от греков, которые, разумеется, тоже решали квадратные уравнения, но решали чисто геометрическим путем, ал-Хорезми чертежом пользуется лишь для пояснения справедливости своего риторического решения. Он может решить любое квадратное уравнение по его общему правилу (найти положительные корни). Если у греков было именно геометрическое решение, то метод ал-Хорезми – почти алгебраический. И это колоссальный шаг вперед по сравнению с геометрической алгеброй греков; от него остается один шаг (правда, длиной в добрых семь с половиной веков) к алгебре символической, алгебре Виета-Ньютона.

В своем арифметическом тракте ал-Хорезми в основном следовал индийским образцам, и именно через него европейцы познакомились с индийскими методами записи чисел, то есть с употреблением нуля и с поместным значением цифр. Алгебраический же трактат отличался от работ как индийских математиков, так и греческих. Можно пологать, что в этой книге ад-Хорезми следовал местным традициям и собственным результатам. Если большинство греков не видело необходимости в приложении научных знаний к практическим потребностям, то главным желанием ал-Хорезми было поставить науку на службу человечеству, приспособить ее к практическим целям. Алгебра ал-Хорезми имеет раздел о торговле и торговых сделках, с задачами на тройное правило. Таким образом, впервые в истории математики в трактате ал-Хорезми появиллись общие правила решения квадратных уравнений. Но потребовались еще сотни лет, чтобы предать им общепринятую сейчас форму.

МАТЕМАТИКА В СРЕДНИЕ ВЕКА | АЛГЕБРА | АЛГЕБРА ВИЕТА
ТИМУР

Тимур родился 9 апреля 1336 года в кишлаке Ходжа Илгар (ныне Яккабаг) близ Шахрисабза, что находится в месте, называемом Кеш, в восьмидесяти километрах к югу от Самарканда. Его отец, эмир Мухаммад Тарагай, ведет свое происхождение от монгольского племени барласов, которые пришли в Мавераннахр (место в Средней Азии, междуречье Аму-Дарьи и Сыр-Дарьи, включая Бухару и Самарканд) с Чингизханом. В Шахрисабзе тогда правил прямой потомок Чингизхана Хаджа-барлас, а отец Тимура, будучи близок к нему, был тесно связан со знатью Мавераннахра и Могулистана. О матери Тимура известно только, что ее звали Текина Мох-бегим.

Он был предводителем небольшого отряда таких же как он юношей, с которыми совершал набеги на соседние земли и торговые караваны. В 1358 году в возрасте двадцати двух лет Тимур поступает на службу к хану Туглук-Тимуру и с 1360 года он становится правителем небольшого Кашкадарьинского тумана (области). Он женится на сестре правителя Балха, эмира Хусейна, с которым начинает совместную борьбу против наследного правителя Мавераннахра, сына Туглук Тимура, Ильяс-ходжы. Именно тогда будущий великий завоеватель получает ранение в ногу и навсегда остается хромым, получив прозвище в мире – хромой Тимур (Тамерлан, Тимур-ленк, Железный Хромец). Получив поражение в первом сражении, Тимур и Хусейн все же завоевали Самарканд, воспользовавшись победой жителей Самарканда над Ильяс-ходжой, сражающихся на стороне так называемых сарбадаров, выступающих против монголов.

Более двух тысяч лет Самарканда являлся ключевым пунктом на Великом шелковом пути.

ОБСЕРВАТОРИЯ ПОД САМАРКАНДОМ

Мирза Мухаммед ибн Шахрух ибн Тимур Улугбек Гураган, великий узбекский астроном и покровитель науки, внук знаменитого среднеазиатского завоевателя Тамерлана, родился 22 марта 1394 г. во время одного из походов своего грозного деда, в военном обозе. С 1409 г. он правил Ма-вераннахром, государством, расположенным в Средней Азии между реками Сырдарьей и Амударьей, со столицей в Самарканде. В 1447 г. после смерти своего отца Шахруха Улугбек стал правителем всей бывшей империи Тамерлана и главой династии Тимуридов. С юности он проявлял большую склонность к наукам и искусствам, особенно к математике и астрономии. Обширные познания Улугбек приобрел, читая рукописи из богатейшей библиотеки, собранной его отцом, и общаясь с видными учеными своего времени – математиками и астрономами Джемшидом Гияс-ад-дин-ал-Каши и Казы-заде-ар-Руми.

Свою власть и богатства он направлял в основном на развитие наук и образования в стране, строил высшие школы-медресе и читал в них лекции по астрономии. По отзывам современников, Улугбек был незаурядным ученым.

В 1417-1420 гг. по совету ал-Каши и по проекту Улугбека, ар-Руми и зодчего Тахира ибн Мухаммеда в 2 км от Самарканда была построена астрономическая обсерватория, ставшая самой знаменитой на Среднем и Ближнем Востоке. Ее трехъярусное цилиндрическое здание диаметром более 48 м и высотой не менее 30 м было сооружено на холме. Оно возвышалось над окружающей местностью на высоту современного 12-13-этажного дома. Главным ее инструментом был громадный стенной квадрант (использовавшийся как секстант, т. е. на протяжении дуги в 1/6 окружности) с радиусом 40,2 м. Мраморная дуга квадранта имела ширину 2 м. Верхним концом она упиралась в крышу здания (которое по существу было оболочкой для этого инструмента), а нижним уходила на 10 м под землю, размещаясь в вырубленной в скале траншее.

По сравнению с унаследованными от Птолемея стенными квадрантами это был принципиально новый угломерный инструмент, предназначенный главным образом для измерения высоты Солнца в кульминации. В обычных квадрантах и секстантах направление на светило фиксировалось с помощью подвижной линейки (алидады), направленной по радиусу дуги инструмента. На ней укреплялись два диоптра, сквозь которые наблюдатель смотрел на светило и таким образом наводил на него алидаду. Ее нижний конец при этом указывал на градуированной дуге высоту или зенитное расстояние светила в момент кульминации. Наблюдения Солнца с помощью такого инструмента часто приводили к слепоте наблюдателя. Свет от небесного тела (главным образом от Солнца) проникал в помещение квадранта сквозь отверстие в верхней части южной стены обсерватории.

Изображение светила наблюдалось на круглом белом экране с нанесенным на нем крестом, отмечавшим его центр. Экран мог перемещаться в полуметровом по ширине желобе, проходившем по центральной части дуги квадранта.

МАССА КАРТИНОК
СЕКСТАНТ АЛ-ХОДЖАНДИ

Абу Махмуд Хамид ибн ал-Хызр ал-Ходжанди (перс. ???????? ??????, англ. Abu Mahmud Hamid ibn al-Khidr Al-Khujandi, умер ок. 1000 г.) – персидский математик и астроном, уроженец Ходжента, работал в Рее под Тегераном. По словам лично знакомого с ним ал-Бируни, ал-Ходжанди представлял собой “исключительное явление своей эпохи в деле изготовления астролябий и других инструментов”.

Он построил в окрестностях Рея знаменитый «Фахриев секстант», описанный ал-Бируни в специальном трактате (так называемый секстант Фахри, традиционно названный в честь тогдашнего местного правителя). Его дуга радиусом 20 м располагалась в закрытом павильоне. Она была частично заглублена в землю. В крыше, в точке, совпадавшей с центром дуги, проделывалось отверстие, сквозь которое светило в момент кульминации бросало луч на градуированную дугу. Луч заменял громоздкую при таких размерах алидаду.

Инструмент благодаря этой гениально простой находке был безопасен для зрения. Улугбек увеличил его размеры вдвое, отчего возросла и его точность. Ал-Ходжанди принадлежит ряд работ по астрономии: «Книга о действиях с астролябией “заркала”», «Книга об универсальном инструменте», «Книга о тимпане горизонтов», «Книга об определении наклона эклиптики», «Книга об уточнении склонения и широты местностей», «Книга об азимуте киблы».

В «Книге о прошедших часах ночи» ал-Ходжанди (в одно время с Абу-л-Вафой и Ибн Ираком) доказал теорему синусов для сферического треугольника, позволившую упростить решения ряда задач сферической астрономии, которые до этого решались с помощью теоремы Менелая для полного четырехсторонника. В неопределенном анализе ал-Ходжанди попытался доказать, что сумма двух кубических чисел не может быть кубическим числом – частный случай великой теоремы Ферма. Это доказательство не сохранилось; о нем упоминает в своем сочинении Ибн ал-Хусайн.

БИБЛИОТЕКА БУХАРЫ

На территории Средней Азии искони существовали крупные книгохранилища, основанные еще до арабского завоевания. “В Бухаре, например, – отмечает известный знаток рукописей А. А. Семенов, – с начала XV в. существовала большая библиотека общественного пользования, основанная известным шейхом Мухаммедом Парса (умер в 1419 г.). Она заключала множество рукописей разнообразного содержания, среди них было немало драгоценных по своей древности и редкости”. “Рукописи продавались, – продолжает А. А. Семенов, – во всех городах Средней Азии, но самые обширные книготорговли были в Бухаре и Карши, где на базарах существовали специальные ряды продавцов рукописей и печатных изданий. Здесь у книготорговцев можно было найти немало рукописей, высокохудожественно оформленных, украшенных чудесными миниатюрами, рукописи разнообразного сочинения и различных эпох”.

Значение этих рукописей было огромно, так как “помимо памятников письменности местного происхождения существовало огромное количество рукописей иноземного происхождения: из Аравии и Египта, из Турции и Ирана, из Афганистана и Индии, из Кашгара и Поволжья. Оживленные торговые, политические и религиозные связи со всеми этими странами весьма способствовали притоку в Среднюю Азию самой разнообразной литературы. При этом нередко случалось, что именно в Средней Азии оказывались списки совершенно уникальные, нигде больше не встречающиеся или собственноручно переписанные разными знаменитостями не только в области литературы и истории, но и в области восточной каллиграфии”.

ПЛАТОНОВЫ ТЕЛА

Платоновы тела – пять уникальных форм. Задолго до Платона, чье описание положено в основу названия, ими пользовался Пифагор, назвав их идеальными геометрическими телами. Древние алхимики считали, что эти тела связаны с определенными элементами: тетраэдр – огонь, октаэдр – воздух, куб – земля, икосаэдр – вода, додекаэдр – эфир, а сфера – пустота.

Сумма всех плоских углов при вершине правильного выпуклого многогранника не превосходит 360°, это ограничивает количество таких тел. Сумма граней и вершин превосходит количество ребер на 2 (отмечали Декарт и Эйлер).

Все пять элементов являются строительными блоками Вселенной. Они создают качества ее атомов. Три первых упомянутых правильных многогранника были хорошо известны пифагорейцам, которые, понимая их замечательные математические свойства, догадывались, что эти тела каким-то образом должны быть связаны с устройством мира. По-видимому, Теэтет (V в. до н. э.) первым показал, что существует еще два правильных многогранника, а именно, додекаэдр (12-гранник) и икосаэдр (20-гранник).

Прямоугольный тетраэдр используется в оптике. Если грани, имеющие прямой угол, покрыть светоотражающим составом или весь тетраэдр выполнить из материала с сильным светопреломлением, чтобы возникал эффект полного внутреннего отражения, то свет, направленный в грань, противоположную вершине с прямыми углами, будет отражаться в том же направлении, откуда он пришел. Это свойство учитывается при создании уголковых отражателей, катафотов.

У правильного многогранника – октаэдра (т. е. восьмигранника) – нет аналогов в плоском мире, т. к. он немного похож на треугольник, а немного на квадрат. Октаэдр тесно связан с кубом так называемым свойством взаимности: центры граней куба являются вершинами правильного октаэдра, а центры граней правильного октаэдра являются вершинами куба. Если соединять отрезками центры соседних граней куба, то эти отрезки станут ребрами октаэдра; если проделать ту же операцию с октаэдром, получится куб.

Между прочим, исходя из этого, понятно, что число вершин октаэдра равно числу граней куба, и наоборот; более того, количества ребер у них совпадают.

Додекаэдр состоит из правильных пятиугольников, которые сходятся по 3 в каждой вершине; икосаэдр – из правильных треугольников, которые сходятся по 5 в каждой вершине. Эти многогранники обладают свойством взаимности по отношению друг к другу. Построению и свойствам 5 правильных многогранников (а также доказательству того, что других не существует) посвящена тринадцатая – заключительная – книга «Начал» Евклида.

Согласно комментарию неоплатоника Прокла, структура «Начал» соответствует устройству Вселенной по Платону: она начинается с самых исходных элементов – точек и прямых – чтобы в результате придти к построению мира в целом.

Математиков Нового времени правильные многогранники интересовали главным образом в связи с совокупностями (группами) тех преобразований – поворотов и симметрий – которые переводят многогранники сами в себя. Изучение групп преобразований оказалось важным для, казалось бы, совершенно не связанных с этим вопросов.

Так, Феликсу Клейну принадлежит книга, название которой говорит само за себя: «Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени». В XX в. теория групп оказалась чрезвычайно важной для квантовой механики, изучающей молекулы, атомы и элементарные частицы: та или иная группа преобразований, оказывается, является определяющей для того или иного объекта микромира.

ИНТЕРНЕТ ЛИТЕРАТУРА

См. обзор правильных многогранников. Куча картинок. Тетраэдры египетских пирамид: книга, с самыми большими иллюстрациями. У такой темы есть богатые ассоциации с кристаллами, кристаллография.

ЕЩЕ КУЧА КРАСИВЫХ КАРТИНОК | СОЛНЕЧНАЯ СИСТЕМА

ПЛОТНАЯ УПАКОВКА | ПЛИТКИ ПЕНРОУЗА
КЕПЛЕР О ПЛОТНОЙ УПАКОВКЕ

КРИСТАЛЛОГРАФИЯ

Разнообразие кристаллов в природе по форме очень велико. Кристаллы могут иметь от четырех до нескольких сотен граней. Но при этом они обладают замечательным свойством – какими бы ни были размеры, форма и число граней одного и того же кристалла, все плоские грани пересекаются друг с другом под определенными углами.

Закон постоянства углов, открытый в 1669 г. датчанином Николаем Стено, является важнейшим законом науки о кристаллах – кристаллографии. Углы между соответственными гранями всегда одинаковы.

Форму тетраэдра имеют вода и лед Н2О, молекулы: метана СН4, аммиака NH3. Алмаз C – тетраэдр с ребром равным 2.5220 ангстрем.

Пирит

Кристаллы каменной соли, например, могут иметь форму куба, параллелепипеда, призмы или тела более сложной формы, но всегда их грани пересекаются под прямыми углами. Грани кварца имеют форму неправильных шестиугольников, но углы между гранями всегда одни и те же – 120°.

Можно показать, что никаких кристаллов в форме икосаэдра и додекаэдра быть не может; тем не менее, в живой природе икосаэдры встречаются: такую форму имеют белковые оболочки некоторых вирусов (в частности, хорошо изученного вируса «табачной мозаики»).

ПЛОТНАЯ УПАКОВКА

Законам кристаллографии созвучны закономерности, находимые в задачах о плотной упаковке. Например, задача о размещении не пересекающихся одинаковых шаров в евклидовом пространстве. Типичная постановка задачи звучит так – найти способ расположения шаров в пространстве, при котором покрыта наибольшая доля этого пространства.

В двумерном пространстве наилучшим заполнением является размещение центров кругов в вершинах паркета, образованного правильными шестиугольниками, в котором каждый круг окружен шестью другими. Плотность данной упаковки ?/(2?3). В 1940 году было доказано, что данная упаковка является самой плотной.

Задача о плотной упаковке шаров, такая простая на вид и столь трудная по существу, остается одной из важных нерешенных проблем в математике. Если бы вместо шариков нужно было уложить одинаковые кубики, найти ответ было бы легко. Поскольку кубики плотно прилегают друг к другу и между ними не остается пустого места (не считая небольших просветов вдоль стен и потолка).

Однако шары нельзя упаковать так же плотно, как кубики: между ними всегда остается свободное место. Многие люди, потратив несколько минут на эксперименты с апельсинами или бильярдными шарами, приходят к ошибочному выводу, что проблема тривиальна. К сожалению, математически не доказано, какова максимально достижимая плотность.

Задачи о форме снежинок живо интересовали еще Кеплера. Он изучал размещение горошин в стручке, его интересовали форма гранатовых зернышек, в общем, формы природных кристаллов. Размышления об упаковке космического пространства привели его к важнейшим открытиям.

МУЗЫКА НЕБЕСНЫХ СФЕР

Поискам гармонических соотношений посвящена третья книга “Гармонии мира” Иоганна Кеплера, которая называется “Происхождение гармонических пропорций, а также природа и различие музыкальных интервалов”. Кеплеру предстояло решить необычайно сложную задачу: не только указать основные интервалы, из которых можно построить весь звукоряд, но и вывести из их свойств геометрию представимых фигур.

Проделав колоссальную вычислительную работу и по существу создав свою теорию музыки, Кеплер получает семь основных гармонических интервалов: октаву (с отношением частот 1:2), увеличенную сексту (3:5), малую сексту (5:8), чистую квинту (2:3), чистую кварту (3:4), большую терцию (4:5) и малую терцию (5:6) – и выводит из них весь звукоряд. Эти семь делений струны, – поясняет Кеплер, – я нашел, сначала руководствуясь слухом, в числе, равном числу гармоний в пределах одной октавы, и лишь затем не без труда вывел причины отдельных делений и всей их совокупности из глубочайших оснований геометрии.

Музыкальная гармония дала Кеплеру удобную терминологию. Однако, сколь ни важны музыкальные гармонии, они, по мнению Кеплера, представляют собой не более чем материализацию абстрактных отношений, которые и являются истинно гармоническими.

Ныне, после того как 18 месяцев назад впервые забрезжил рассвет, после того как 3 месяца назад наступил ясный день и лишь несколько дней назад взошло яркое солнце чудеснейшего зрелища, ничто не может остановить меня. Я отдаюсь священному экстазу. Не боясь насмешек смертных, я исповедуюсь открыто.

Да, я похитил золотые сосуды египтян, чтобы вдали от границ Египта воздвигнуть жертвенник своему Богу. Если вы простите меня, я снесу это. Жребий брошен.

Я написал книгу либо для современников, либо для потомков; для кого именно – мне безразлично. Пусть книга ждет сотни лет своего читателя: ждал же сам Бог 6000 лет, пока появился свидетель. … главный вопрос: “Где в движениях планет создатель запечатляет гармонические пропорции и каким образом это происходит?” – остается покуда открытым.

После долгих поисков Кеплер обращается к отношению угловых скоростей в афелии и перигелии – и, о радость (“солнце гармонии засияло во всем блеске”): отношения экстремальных угловых скоростей для внешних планет действительно оказались весьма близкими к чистым гармоническим (Сатурн – 4:5, Юпитер – 5:6, Марс – 2:3).

… Таким образом, небесные движения суть не что иное, как ни на миг не прекращающаяся многоголосая музыка, воспринимаемая не слухом, и разумом.

Рассуждения о «музыке сфер» и платоновых телах составляют, по мнению ученого, эстетическую суть высшего проекта мироздания. Помимо эстетики тут сквозит вполне прагматичная мысль, что эмпирически открытые им орбиты планет не объясняют главного в космогонии – они никак не связаны с межпланетными расстояниями. И поэтому Кеплер решился оставить свои ранние начинания в нумерологии, которой мы обязаны легендой о Фаэтоне.

КОСМОГОНИЯ ИОГАННА КЕПЛЕРА

Летом 1595 г. Кеплер, как ему показалось, подошел к большому открытию: он решил, что им обнаружены важ­нейшие закономерности в строении мира, установлена пер­вопричина взаимного расположения планет Солнечной си­стемы. Еще в студенческие годы, позна­комившись через Местлина с учением Коперника, Кеп­лер стал убежденным его приверженцем. При этом, одна­ко, новое астрономическое учение укладывалось у него в рамки религиозного сознания, откуда и черпались им ис­точники новых построений.

Стремясь глубоко проникнуть в тайны строения Вселенной, он хочет достичь этого по­знанием божественных планов творения мира. Будучи уве­ренным в существовании мудрого промысла божьего, он думает, что при сотворении мира бог должен был исходить из простых числовых свойств и соотношений, использо­вать совершенные геометрические формы. Этот пифагорейско-платоновский подход к изучению вопросов миро­здания лег в основу его первого большого астрономического исследования, интенсивную работу над которым он развернул примерно через год после приезда в Грац.­

В числе первых вопросов, возникших перед Кеплером, был следующий: почему существует только шесть планет, а не двадцать, или, скажем, сто?

Этот вопрос предстояло решить вместе с объяснением относительной величины рас­стояний между траекториями движения планет. Попыт­кой ответить на вопросы такого рода начались многолет­ние исследования, которые в конце концов привели к от­крытию законов движения планет. Сначала он предположил, что между параметрами пла­нетных орбит должны быть простые соотношения, выра­жающиеся целыми числами. «Я затратил много времени на эту задачу, на эту игру с числами, но не смог найти никакого порядка ни в численных соотношениях, ни в от­клонениях от них» – пишет он в предисловии к «Космо­графической тайне».

Затем он попытался решить эту задачу, предположив существование дополнительных, еще не открытых по при­чине малых размеров, планет: одну из них он поместил между Меркурием и Венерой, а другую – между Марсом и Юпитером, рассчитывая, что теперь удастся обнаружить желанные соотношения, но и этот прием не привел его к ожидаемым результатам.

«Я потратил почти все лето на эту тяжелую работу, и в конце концов совершенно случайно подошел к истине».

9 июля 1595 г. – Кеплер скрупулезно зафиксировал эту дату, – решая с учениками какую-то геометрическую за­дачу, он начертил на классной доске равносторонний тре­угольник со вписанной в него и описанной около него окружностями. Внезапно его озарила мысль, которая явилась, по его мнению, ключом к разгадке тайны Вселенной. Прикинув отношение между радиусами окружностей, он заметил, что оно близко к отношению радиу­сов круговых орбит двух крупных планет – Сатурна и Юпитера, как они были вы­числены Коперником (здесь отношение R : r = 2 : 1, а от­ношение RС : RЮ = 8.2 : 5.2, по Копернику).

В дальнейшем ход рассуждений был таким: Сатурн и Юпитер – «пер­вые» планеты (считая по направлению к Солнцу) и «тре­угольник – первая фигура в геометрии. Немедленно я попытался вписать в следующий интервал между Юпитером и Марсом квадрат, между Марсом и Землей – пяти­угольник, между Землей и Венерой – шестиугольник…».

Во времена Кеплера было известно только шесть планет Солнечной системы, наблюдаемых невооруженным взглядом: Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер и Сатурн. Планета Уран была открыта В. Гершелем много позже – в 1781 г., Нептун открыт астрономом Галле и математиком Леверье в 1846 г., Плутон был обнаружен только в 1930 г.

Важным свойством правильных многогранников явля­ется существование для каждого из них вписанного и описанного шаров (сфер) таких, что поверхность вписан­ного шара касается центра каждой грани правильного многогранника, а поверхность описанного шара проходит через все его вершины. Центры этих шаров совпадают между собой и с центром соответствующего многогран­ника.

Еще древним грекам было известно, что число видов правильных многогранников ограничивается пятью. Но ведь и промежутков между планетами, подумал Кеплер, тоже пять. Как трудно было допустить, что это простая случайность (к тому же умозаключение опиралось на не­верное представление о числе планет) и как заманчиво было видеть в этом совпадении мудрость творца. Ответ на вопрос, почему планет шесть, не меньше и не больше, казалось найден.

Одновременно назревает и решение во­проса об относительных расстояниях между орбитами пла­нет: в сферу, на которой расположена орбита Сатурна, вписан куб, в него вписана следующая сфера – с орбитой Юпитера, далее последовательно вписаны тетраэдр, сфе­ра Марса, додекаэдр, сфера Земли, икосаэдр, сфера Вене­ры, октаэдр, сфера Меркурия, в центре всей системы у коперниканца Кеплера, разумеется, Солнце, и – тайна Вселенной раскрыта, раскрыта молодым учи­телем протестантской школы в Граце и математиком про­винции Штирии.

ФОРМУЛА ТАЦИУСА

Расположение планет и устойчивость орбит до сих пор не объяснены. Удаление неустойчивых шаров из общей связки мало чего поясняет, потому что удалившиеся планеты должны возвращаться, окончательно разваливая этот мирок. По оценке Тициуса-Боде на устойчивых орбитах независимо от массы вещества отстояние очередной планеты от орбиты Меркурия удваивается. Отношение радиусов орбит соседних планет равны: 1/2, 3/2, 5/2, 3/7 и т. п.

Четыре внутренние планеты состоят преимущественно из тяжелых элементов, имеют малое количество (0–2) спутников, у них отсутствуют кольца. В значительной степени они состоят из тугоплавких минералов, таких как силикаты, которые формируют их мантию и кору; и металлов, таких как железо и никель, которые формируют их ядро. У трех внутренних планет – Венеры, Земли и Марса – имеется атмосфера; у всех имеются ударные кратеры и тектонические черты поверхности, такие как рифтовые впадины и вулканы.

Четыре внешние планеты: Юпитер, Сатурн, Уран и Нептун, также называемые газовыми гигантами, в значительной степени состоят из водорода и гелия и намного массивнее, чем планеты земной группы.

В Солнечной системе имеются две области, заполненные малыми телами. Пояс астероидов, находящийся между Марсом и Юпитером, сходен по составу с планетами земной группы, поскольку состоит из силикатов и металлов. Крупнейшими объектами пояса астероидов являются Церера, Паллада и Юнона.

За орбитой Нептуна располагаются транснептуновые объекты, состоящие из замерзших воды, аммиака и метана, крупнейшими из которых являются Плутон, Седна, Хаумеа, Макемаке и Эрида. Дополнительно к тысячам малых тел в этих двух областях другие разнообразные популяции малых тел, таких как кометы, метеороиды и космическая пыль, перемещаются по Солнечной системе.

Нумерологическая модель Солнечной системы построена на основе эмпирической формулы, в которую входят числа от 1 до 4, то есть образующие Тетраксис. Это правило в 1766 году предложил немецкий математик И. Тициус, но получило оно известность после того, как его впервые опубликовал (в учебнике астрономии 1772 г.) немецкий астроном И. Боде.

К каждому элементу последовательности 0, 3, 6, 12, .. прибавляется 4, затем результат делится на 10. Полученное число считается радиусом в астрономических единицах. Правило связывает среднее расстояние a планеты от Солнца с ее порядковым номером и выглядит следующим образом:

a = (2n3 + 4)/10,

где a – средний радиус орбиты планеты, выраженный в радиусах Земной орбиты (расстояние, равное среднему радиусу орбиты Земли, называется астрономической единицей).

Здесь для Меркурия следует положить n = –?, так что 2–? = 0, для Венеры n = 0, так что 20 = 1, для Земли и Марса n = 1 и 2 соответственно, для Юпитера n = 4 и далее по порядку. Пропущенное значение n = 3 соответствует поясу астероидов, что дало, в частности, возможность предположить, что когда-то между Марсом и Юпитером обращалась еще одна планета, распавшаяся на части в результате космической катастрофы. Эта планета получила гипотетическое название Фаэтон.

Когда Тициус впервые сформулировал это правило, ему удовлетворяли все известные в то время планеты (от Меркурия до Сатурна), имелся лишь пропуск на месте пятой планеты. Тем не менее, правило не привлекло большого внимания до тех пор, пока в 1781 году не был открыт Уран, который почти точно лег на предсказанную последовательность. После этого Боде призвал начать поиски недостающей планеты между Марсом и Юпитером.

Именно в том месте, где должна была располагаться эта планета, была обнаружена Церера. Это вызвало большое доверие к правилу среди астрономов.

Есть еще такая формулировка: для любой планеты расстояние r от нее до самой внутренней планеты (Меркурия) в два раза больше, чем расстояние p от предыдущей планеты до внутренней планеты: rrm=2(prm). Существует понятие “орбитальные резонансы”: отношение радиусов орбит соседних планет в отмеченном ранее отношении 1/2, 3/2, 5/2, 3/7 и т. п.

МАТРИЦЫ АДАМАРА

Адамар Жак – французский математик. Родился в Версале. В детстве увлекался языками. Победил на конкурсе знатоков греческого и латинского языков. Среднее образование получил в лицее Людовика Великого. Известны фундаментальные исследования Адамара в различных областях математики. В теории чисел Адамар доказал асимптотический закон распределения простых чисел (высказанный П. Л. Чебышевым). В теории дифференциальных уравнений занимался задачей О. Коши для гиперболических уравнений. В классическом анализе и теории функций известны неравенство Адамара, теорема Адамара о степенных рядах. Адамар сформулировал понятие корректности задачи математической физики. Интересны работы Адамара по вариационному исчислению (вариационная формула, теорема Адамара). Адамар написал учебник по геометрии, этюды по психологии математики.

Теория чисел и матрицы Адамара тесны связаны, так как популярный алгоритм построения матриц Адамара опирается на теплицевы матрицы символов Лежандра. Как случай-исключение любопытен n=22-й порядок (и сходные, n=34-й и т.п.): когда значения n–1 вида не представимы суммой двух квадратов. Соответственно, для них не подыскать ни матриц Адамара (n кратно 4), ни их предикатов – матриц Белевича [1], [2]. Возникает закономерный вопрос, как эти матрицы обобщить? На этот вопрос дает ответ теория M-матриц: ортогональных по столбцам или строкам матриц Адамара-Мерсенна (Адамара-Эйлера, Адамара-Ферма).

РАСЧЕТ МАТРИЦ АДАМАРА ИСПОЛНЯЕМЫМИ АЛГОРИТМАМИ
СИМВОЛ ВЕЛИКОГО ОДИНА | МАТРИЦЫ АДАМАРА-МЕРСЕННА
ОПТИМАЛЬНЫЙ ОКТАЭДР | ФРАКТАЛЫ АДАМАРА-МЕРСЕННА И АДАМАРА-ФЕРМА
ИТЕРАЦИОННАЯ ФОРМУЛА СИЛЬВЕСТРА

Еще Д.Д. Сильвестр (1814-1897) – известный английский математик, основатель Американского математического журнала. Выделил среди матриц с ортогональными столбцами (строками) последовательность

 

  A
   A
  A
  –A

 

порождаемую рекурсией с начальным условием A=1, w=n – порядок матрицы.

n=8; A=hadamard(n);
{{X=A’*A;}}; putm(X); mesh(A);

function hadamard(n) {
var i,n1,m,r,S,B; m=round(n);
if (m>1) { S=sylvester(1); m=floor(n/4);
if (m>0) for (i=0;i<m;i++) S=sylvester(S); }
return S;
}

Матрица Сильвестра обобщает матрицу спектрального преобразования Фурье на дискретный случай, когда амплитуда сигнала задается всего двумя уровнями. Ее столбцами являются предложенные в начале прошлого века функции Родемахера и Уолша – аналоги косинусных и синусно-косинусных базисов. Базис Уолша недостижим тривиальной амплитудной дискретизацией уровней гармонических функций.

Теорема Адамара состоит в том, что если у квадратной матрицы все элементы по модулю меньше или равны единице, то |det(A)|?nn/2.

Верхняя граница достигается на матрицах Адамара (матрицы Сильвестра и сходные с ними). Другими словами, с точки зрения геометрии объем n-мерного тела максимален, когда задающие его векторы взаимно перпендикулярны. Доказательство знаменитого неравенства Адамара опирается на свойство определителей, позволяющее в оценках переходить к произведению A’A, порождающему квадратичные формы от элементов, которые в данном случае просты.

Французский математик Адамар привел, тем самым, отсутствующие в последовательности Сильвестра матрицы 12-го и 20-го порядков (24-й порядок порождается процедурой Сильвестра из 12-го, и первый отличный порядок-исключение: 28-й)

Гипотеза Адамара состоит в том, что такие матрицы существуют для порядков 1, 2 и n=4k, где k – целое число.

Матрицы Адамара нормализуют, выравнивая знаки первого столбца и первой строки. На их множестве выделяют классы эквивалентности по отношению к операции перестановки строк и столбцов с возможной инверсией элементов.

Неизвестны матрицы Адамара порядков 668, 716, 892, 1004, 1132, 1244, 1388, 1436, 1676, 1772, 1916, 1948, 1964… Порядки, для которых существует только одна матрица Адамара: 1, 2, 4, 8, 12. На 16-м порядке их 5, на 20-м их 3, на 24 их 60, на 28-м их 487. На 32, 36, и 40 счет идет на миллионы. Некоторые из них эквивалентны с точностью до транспонирования. Выделяют регулярные матрицы – с равными суммами элементов строк и столбцов (необходимо: n – точный квадрат).

ИНТЕРПРЕТАЦИЯ СТРОК В ВИДЕ БАЗИСОВ УОЛША-РАДЕМАХЕРА

Систему ортогональных меандров предложил Ганс Радемахер в 1822 году: Rk(t)=sign(sin(2k?t)), где t – безразмерное время. Ниже дан график до округления.

 

 

Система функций Радемахера ортонормирована на интервале [0,1], но неполна (синусы без косинусов). Дополнить ее с помощью косинусов тех же частот получается порядка до восьмого, а в общем условие ортогональности противоречит такой периодичности выборки. В 1923 году американский ученый Уолш получил полную систему ортонормированных функций, дополняя систему функций Радемахера: W0=R0, W1=R1, W2=R2, W3=R1R2, и т.п. На практике их находят, систематизируя строки матриц Адамара последовательности Сильвестра: ниже матрица до и после систематизации.

ФУНКЦИИ РАДЕМАХЕРА | ВИКИ
МАТРИЦА АДАМАРА H12

Матрица двенадцатого порядка, предложенная Адамаром в его статье, посвященной поиску максимального определителя.

 

Матрица пакета MatLab

 

Матрица двадцатого порядка, предложенная Адамаром в его статье, посвященной поиску максимального определителя.

 

ПЯТЬ НЕЭКВИВАЛЕНТНЫХ МАТРИЦ 16-го ПОРЯДКА

{{H=”H16_1.xml”; I=H’*H}} putm(I); mesh(H);

ТРИ НЕЭКВИВАЛЕНТНЫЕ МАТРИЦЫ

СИММЕТРИЧНЫЕ ФОРМЫ


{{H=”H20_1.xml”; I=H’*H}} putm(I); mesh(H);

МАТРИЦЫ АДАМАРА-СКАРПИ

Umberto SCARPIS (Padova 1861 – Bologna 1921)

Матрицы Адамара-Скарпи, посчитанные по матрицам Мерсенна, модифицированный алгоритм в реализации Юры Балонина: матрица Мерсенна вставляется в самою себя, с позиционным поворотом Скарпи, расширяемые элементы определяют знак каймы (все просто).

В оригинале кайма отделена от матриц Мерсенна, что усложняет алгоритм

HADAMARD-SCARPIS MATRICES H380, H552

Оригинальный алгоритм

1. Составляется блочно-составная матрица из (n+1)x(n+1) матриц Мерсенна Mn с соблюдением знаковой политики (черезстолбцовые минусы у матриц и блоков).

2. Прозводится “обеднение” окаймляющих блоков замещением их одним столбцом или одной строкой, соответственно их положению: стартовый блок и первая строка “выбеливаются” в 1.

3. Производится поворот, как в номерном замке (или барабане кольта), строк блочных матриц, соответственно произведению индексов их размещения.

Литература

1. Scarpis U. Primi Elementi Della Teoria Dei Numeri, 1897 (Hardback)

2. Scarpis U. Sui determinanti di valore massimo, Rendiconti della R. Istituto Lombardo di Scienze e Lettere 31 (1898) 1441–1446.

Падуя (Padova) – недалеко от Венеции (на веточке к морю, от Милана), место расположения старейшего Университета Европы (1222), где работали Коперник, Галилей (и Скарпи). Ныне (via) есть улочка Умберто Скарпи.

МАТРИЧНОЕ КВАДРАТИЧНОЕ УРАВНЕНИЕ

Матричное квадратичное уравнение

A’A = wI,

выделяет класс матриц с ортогональными вектор-столбцами, здесь I – единичная матрица, w – весовой коэффициент. Среди целочисленных решений этого уравнения выделяют матрицы Адамара и Белевича (C-матрицы).

МАТРИЦЫ С КОМПЛЕКСНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Комплексная матрица Адамара

aik=e2пj(i–1)(k–1)/n

отличается от матрицы Фурье масштабным коэффициентом sqrt(n). Матрицы, определенные над полем комплексных чисел с единичным модулем, относят к категории обобщенных адамаровых матриц, однако свобода выбора фазы несоизмеримо больше свободы выбора знака при модуле: особых проблем этот случай не вызывает.

Рассмотрим нормализованную структуру комплексной матрицы

 

A =
1
1
1
1
a
b
1
c
d

 

она ортогональна, если b=c=–1–a, d=a, a – кубический корень из 1 для a2+a+1=0.

Выделяют комплексные адамаровы матрицы битсоновского типа с произвольным показателем корня, с элементами ±1, ±j (корень четвертой степени из 1), и случаи с показателем корня равным порядку матрицы n.

МАТРИЦЫ АДАМАРА И БЕЛЕВИЧА

Пропуски между порядками 1, 2, 4, 8, 16, 32, … сильвестровой последовательности матриц существенно возрастают. В начале прошлого века Ж. Адамар построил аналогичные матрицы 12-го (а значит, и 24) и 20-го порядков и высказал гипотезу, что решения с элементами ±1 существуют для всех степеней, кратных 4. С тех пор такие матрицы называют адамаровыми.

Определение 1. Адамаровой матрицей А называется nxn матрица с элементами ±1, обладающая свойством

A’A=nI.

Следующий шаг сделал В. Белевич – русский математик, работавший в Америке, выходец из среды петербургских эмигрантов, покинувших Россию в годы революции. Он расширил множество рассматриваемых матриц до форм с нулевой диагональю и элементами ±1 вне ее.

Определение 2. Матрицей Белевича C называется nxn матрица с нулевой диагональю и остальными элементами ±1, обладающая свойством

С’С=(n–1)I.

Матрицы Белевича (конференц-матрицы или C-матрицы) связаны с теоремой теории чисел Эйлера: необходимое условие их существования заключается в том, чтобы n–1 было разложимо на сумму двух квадратов. Они заполняют четные пустующие порядки 6, 10, 14, 18, … сильвестровой последовательности матриц, исключениями являются, например, 22, 34, 58.

Условие ортогональности – это квадратическое уравнение, дающее на случай первого порядка

a2=1,

корни +1, –1. Таковы и матрица Адамара

A’A=nI,

основной последовательности. Однако матричные корни взвешенной единичной матрицы – обобщенные условием минимаксности, далеко не всегда единичные, по абсолютным значениям их элементов, матрицы. В докомпьютерную эпоху исследовать корни было сложно, это видно уже по двум первым отличающимся матрицам Адамара. Рассмотрение более полного перечня корней входит в наши намерения.

ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ

В теории ортогональных или квазиортогональных, как в данном случае, матриц существует практика удаления каймы матрицы. Выделим в рациональной матрице Q удаляемый субблок A четвертого порядка

 

Q =
A
B
C
D

 

с пересчетом Q=D–C(A–W)–1B параметров матрицы D, имеющим цель сохранить правую часть Q’Q=wI при итерационном понижения порядка n–4 вплоть до n=2.

Размерность 4 взята из теоремы Лагранжа о гарантированном разложении натурального числа на сумму четырех квадратов w=n–1=w12+w22+w32+w42, в которой используется конструкция Вильямсона с тем же весом W’W=wI вида

 

W =
 w1
 w2
 w3
 w4
 –w2
 w1
 –w4
 w3
 –w3
 w4
 w1
 –w2
 –w4
 –w3
 w2
 w1

 

Элементарное следствие алгоритма понижения порядка состоит в том, w=n–1, n=2 (mod 4) – представимо парой квадратов рациональных, в общем, а значит, и парой целых чисел, т.к. объект разложения – целое число. Это обстоятельство отмечал еще Белевич, указав на то, что в ряду исследуемых им матриц нет матриц с n=22, 34 и т.п..

if (tick==0) {
n=6; Q=belevitch(n); w1=2; w2=1; w3=0; w4=0;
n=10; Q=belevitch(n); w1=3; w2=0; w3=0; w4=0;
n=14; Q=belevitch(n); w1=3; w2=2; w3=0; w4=0;
W=[[w1,w2,w3,w4],[-w2,w1,-w4,w3],[-w3,w4,w1,-w2],[-w4,-w3,w2,w1]];
// W=[[-w1,w4,w3,w2],[w2,w3,-w4,w1],[w3,-w2,w1,w4],[w4,w1,w2,-w3]];
putm(W); putm(Q); {{I=Q’*Q}} putm(I);
}
while (n>4) { n=n-1;
A=rowcol(Q,0,3,0,3); B=rowcol(Q,0,3,4,n);
C=rowcol(Q,4,n,0,3); D=rowcol(Q,4,n,4,n);
{{Q=(A-W)\B; Q=D-C*Q;}} putm(Q);
{{I=Q’*Q}} putm(I);
n=n-3;
}

МАТРИЦА ЯКОБСТАЛЯ

В теории построения матриц Адамара и Белевича используются теплицевы или блочно-теплицевы матрицы Якобсталя и Пэли, последние появляются вместе со сложными порядками. Кроме того, матрицы Адамара и Белевича связаны между собой преобразованием, сходным с сильвестровым.

Для решения основной проблемы выделяют вспомогательное уравнение Якобсталя

J’J = (n – 1)I ? E,
где J – искомая целочисленная матрица, I,E – единичная матрица и матрица, состоящая полностью из 1 (тех же порядков, что и J).

Это уравнение ввел немецкий математик Эрнст Якобсталь, ученик Фробениуса и Шура, работавший в начале прошлого века над диссертацией по квадратичным вычетам. Оно напоминает условие ортогональности, несколько сложнее его, но зато решение устроено исключительно просто: это теплицева матрица символов Лагранжа

Jij = ((i–j)/n), i<>j,

удовлетворяющая условию JE = EJ = 0, с элементами ±1 вне нулевой диагонали.

Матрица Якобсталя J заведомо существует, если n – простое число. Она циркулянтная и симметрическая или кососимметрическая – в зависимости от того, принадлежит ли разность –1 квадратичным вычетам, т.е. n=1 (mod 4) или n=3 (mod 4), соответственно.

n=5; J=jacobsthal(n);
{{X=J’*J;}}; putm(X); mesh(J);

function jacobsthal(n) {
var L,J; L=legendre(n); J=circul(L);
return J;
}

function jacobsthal2(n) {
var i,j,s,r,L,J;
J=zeros(n); L=legendre(n);
r=n-floor(n/4)*4;
for (i=0;i<n;i++)
for (j=0;j<i;j++) { s=L[i-j];
J[i][j]=s; if (r==3) s=-s;
J[j][i]=s; }
return J;
}

МАТРИЦА ПЭЛИ

Первый встреченный сложный порядок n=9 (не является простым числом) удовлетворяет условию основной теоремы Эйлера о разложимости на сумму двух квадратов – содержит 3 в четной степени 2. В тридцатых годах прошлого века Раймонд Пэли рассмотрел квадратичные вычеты последовательности девяти чисел

0, 1, ?1, a, a+1, a?1, ?a, ?a+1, ?a?1

определенной над иррациональным корнем a неприводимого к простым множителям многочлена: x2 + x ? 1 = 0. Ей отвечают символы Лежандра, разделенные на три составляющие

a=[0, 1, 1], b=[–1, –1, 1], c=[–1, 1, –1],

и соответствующие им циркулянтные блоки A, B, C, удовлетворяющие, как видно, условию симметрии a[2]=a[1], c[0]=b[0], c[1]=b[2], c[2]=b[1] блочно-циркулянтной матрицы Пэли

 

P =
A
C
B
B
A
C
C
B
A

 

которая является решением матричного уравнения Якобсталя.

n=9; P=paley(n);
{{X=P’*P}} mesh(P); putm(X);

function paley(n) {
var a,b,c,A,B,C;
a=[0,1,1]; b=[-1,-1,1]; c=[-1,1,-1];
A=circul(a); B=circul(b); C=circul(c);
{{a=[A,B,C]; b=[C,A,B]; c=[B,C,A];
a=a’; b=b’; c=c’; P=[a,b,c]}};
return P;
}

Условие, при котором получается симметричная матрица, зажимает C=B’ и верхнюю половину элементов A. Задачу ее построения можно решить также перебором, существует, например, решение при a=[0 -1 1], b=[1 -1 1].

АЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ МАТРИЦ БЕЛЕВИЧА

Симметричная и кососимметричная C-матрицы (матрицы Белевича) строятся дополнением матриц Якобсталя

 

C =
0
 e’
e
J
,
C =
0
 e’
 –e
J
,

 

согласно двум основным случаям: n–1=1 (mod 4) или n–1=3 (mod 4), здесь e – вектор из единиц. Компенсационные добавки устраняют добавочный член с матрицей E в вспомогательном уравнении. Симметричная блочно-циркулянтная матрица Пэли используется в первой формуле J=P.

n=6; C=belevitch(n);
{{X=C’*C;}}; putm(X); mesh(C);

function belevitch(n) {
var r,n1,J,C; n1=n-1;
if (n==10) { J=paley(n1); }else{ J=jacobsthal(n1); }
e=one(n1); {{J=J’; C=[e,J]; C=C’}}
e=one(n); e[0]=0; r=n1-floor(n1/4)*4;
if (r==3) {{e=-e}}; {{C=[e,C]}}
return C;
}

АЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ МАТРИЦ АДАМАРА

Матрицы Адамара строятся на основе кососимметрических C-матриц устранением нулевой диагонали

A=I+С,

именно таковы первые два случая-исключения порядков 12 и 20, рассмотренные еще Адамаром.

Симметричный вариант опирается на преобразование Сильвестра с аналогичными компенсационными единичными матрицами–добавками

 

A =
  I+С
    I–С
  I–C
  –I–C

 

это, в частности, случай более высокого порядка n=28, не рассмотренный Адамаром.

n=12; A=hadamard(n);
{{X=A’*A;}}; putm(X); mesh(A);

function hadamard(n) {
var i,n1,m,r,S,B; m=round(n);
if (m>1) { if ((m==12)||(m==20)||(m==28)) {
n1=n-1; r=n1-floor(n1/4)*4;
if (r==3) m=m/2; C=belevitch(m); I=eye(C); {{S=I+C}}
if (r==3) { {{C=I-C; I=[S,C]; S=-S;
S=[C,S]; I=I’; S=S’; S=[I,S]; S=S’}} }
}else{ S=sylvester(1); m=floor(n/4);
if (m>0) for (i=0;i<m;i++) S=sylvester(S); }}
return S;
}

Гипотеза Адамара не доказана до сих пор, эффективность любого алгоритма зависит от порядка. Известны примеры построения некоторых видов стартовых матриц сильвестровой последовательности.

ЦИКЛИЧЕСКАЯ МАТРИЦА

Адамарова матрица

 

A =
 –1
1
1
1
1
 –1
1
1
1
1
 –1
1
1
1
1
 –1

 

циркулянтная, это характерно для n=1, n=4 (Circulant Hadamard Matrices R. Stanley), порядки 2 и кратные 8 исключены.

МАТРИЦА ВИЛЬЯМСОНА

Вильямсон ввел в рассмотрение кососимметрическую ортогональную матрицу

 

W =
A
B
C
D
 –B
A
 –D
C
 –C
D
A
 –B
 –D
 –C
B
A

 

блочные (как у матрицы Пэли) элементы которой представлены циклическими попарно-коммутативными симметрическими подматрицами нечетного порядка m с элементами ±1, удовлетворяющими условию

A2+B2+C2+D2=4mI.

Поиск элементов таких блоков обеспечивается переборным алгоритмом, что дает еще один тип адамаровых матриц, замещающих пропуски в последовательности Сильвестра. Этим способом строится матрица 92 порядка: первая матрица порядка n<100, недостижимая в рамках конструкции Пэли. В простейшем случае A=1, B=1, C=1, D=1 дает адамарову матрицу четвертого порядка.

A=1; B=1; C=1; D=1;
W=[[A,B,C,D],[-B,A,-D,C],[-C,D,A,-B],[-D,-C,B,A]]; {{X=W’*W}}; mesh(X)

Алан Вентинк рассмотрел в так называемом “чайном-пакетике” для матриц Адамара 16-го порядка цветок.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ СИЛЬВЕСТРА
МАТРИЦЫ 16-го ПОРЯДКА
МАТРИЦЫ 20-го ПОРЯДКА
МАТРИЦА СЕРПИНСОГО

Матрица Серпинского, это матрица количеств совпадающих единичных битов у бинарного представления ее индексов.

Матрица Серпинского продуцирует матрицу Адамара сильвестровой последовательности возведением –1 в степень, равную значениям элементов этой матрицы:

H=–1S

Если выбелить ненулевые элементы матрицы Серпинского, получатся узнаваемые контуры треугольника Серпинского

ИНТЕРНЕТ-ЛИТЕРАТУРА

Матрицы Адамара и сопредельные: обзор линков в Интернет. См. обзоры по комплексным матрицам (лежит, кстати, на сайте с ключевым корнем chaos) и матрицам Фурье, [см. также Тыртышников Е. Е.].

По теории чисел существуют прекрасно написанные учебники. В шестидесятых годах на русском языке опубликована книга президента Лондонского математического общества Гарольда Дэвенпорта. Примерно тогда же изданы книги Вацлава Серпинского и Александра Осиповича Гельфонда. Много любопытного у известного математика Роджера Пенроуза. Полезно заглянуть в википедию, и узнать, кто такой Морделл Луис Джоел. Теореме Ферма посвящен бестселлер Саймона Сингха. 2004 год, Джон Стилвел использует LaTeX, но разве этого достаточно, в наше время? Теории чисел посвящена книга Сергея Викторовича Сизого.

МАТРИЦЫ | СТАТЬЯ ПО ФРАКТАЛАМ | ТРЕУГОЛЬНИК ПАСКАЛЯ
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ

Понятие матрицы, прямоугольной таблицы чисел, тесно соседствует с понятием системы векторов, координаты которых составляют либо ее столбцы, либо строки. Для большей простоты ортогональной матрицей называется квадратная матрица, у которой транспонированная и обратная к ней матрицы тождественны, т.е. AA’=I, I – единичная матрица.

Понятия скалярного произведения векторов, а значит, и нормы, на нем построенной, растяжимы, зависят от определений, и это вносит некоторую специфику в трактовку ортогональности, разную для векторов и матриц.

Теория базисов давно отошла от узкого толкования нормы вектора. Ортами, слагающими базис, могут быть названы любые ортогональные между собой векторы, признанные единичными по обобщенному определению их нормы, не обязательно квадратичной. Теория матриц в своем основании уже, она опирается на скалярное произведение, построенное на сумме взаимных произведений элементов строк и столбцов перемножаемых матриц. Это не всегда удобно.

Несмотря на то, что ортогональные матрицы хорошо известны, их трудно назвать вполне исследованными. Например, гипотеза Адамара о существовании ортогональных матриц весьма простого вида не доказана вот уже на протяжении ста лет. В некотором смысле, теория ортогональных матриц вторит теории чисел. И то и другое представляет собой калейдоскопическое собрание редких фактов в отношении интуитивно простых объектов, никак не укладывающихся в общую канву. При все простоте, вызывающую ощущение фундаментальности.

Ортогональные матрицы столь же фундаментальны уже потому, что их порядок – число, слагающее теорию чисел. Существует довольно очевидное соответствие между числами n и ортогональными матрицами размерности n, т.е. ортогональными базисами. Или пространствами. Понятия числа и пространства – фундаментальны, не сводимы друг к другу. Но они могут отвечать друг-другу. Это объекты из разных миров, и одно может быть характеристикой другого. Матрицы, при их размерах, смотрятся даже более информативными источниками, чем числа. При всем том, эти соотносящиеся друг с другом объекты неудобны для исследователей чисел или матриц, поскольку оба этих направления достаточно глубоки и требуют в своем обозрении и манипуляциях с ними разных знаний и навыков.

Теория чисел знаменита своими древними, как Сфинкс, загадками-теоремами. Теория матриц начала складываться в отчетливое направление относительно недавно – с выходом в свет монографии Гантмахера в середине прошлого века. До него первичную работу проделал Дж. Сильвестр. Некоторые результаты теории матриц получены уже в эпоху компьютеров, это совсем не длительный период времени. Справочник Гантмахера с момента его выхода дополняли разные более или менее фундаментальные труды, можно указать на несколько книг, в особенности, Джонсона. Но и Галуба, Воеводина, Беллмана, Уилкинсона и Райнша и др.

Тем не менее, некоторые сведения по построению ортогональных матриц до сих пор не попали в справочники по теории матриц, а фигурируют в курсах разрозненных дисциплин, например, в комбинаторике, что вызывает недоумение. В самом деле, а что может быть первичнее, в теории матриц, чем понятие ортогональности? И почему ортогональные матрицы трактуются вне этих справочников? Белевич, дополнивший теорию матриц Адамара, описывал их в статьях по электрическим схемам и трансформаторам. Тематика не выбирает ученых по принципу, в какой области они работают. Но рано или поздно необходимость в подведении итогов назревает. Отчасти это и делали уже в компьютерную эпоху, тоже разные специалисты. Беллман – известен как специалист по теории управления и матрицы для него – побочный материал, тем не менее, он написал заметный прикладной обзор.

Ортогональных матриц не то, чтобы много, они образуют континуальные множества, образуемые непрерывным поворотом ортогонального базиса в n-мерном пространстве. На этих множествах, тем не менее, есть матрицы более или менее интересные в некотором контексте.

Матрицами Адамара, например, иногда называют матрицы с ортогональными вектор-столбцами и единичными абсолютными значениями всех элементов, иногда – матрицы с ортогональными вектор-строками (такие же). Известно, что если нормы ортогональных столбцов приравнять друг-другу, строки квадратной матрицы тоже станут ортогональными. Тут для этого и делать ничего не надо, условие равных норм явно входит в определение матрицы. Смысл вынужденного топтания вокруг столбцов именно или строк заключается здесь в том всего-лишь, что такие матрицы нельзя назвать попросту ортогональными в приведенном выше узком смысле этого слова. Ни столбцы, ни строки сами по себе тут не особенно важны, хотя их качество оговаривают, в определении.

Накладываемое на матрицы условие простоты связано с единичными по абсолютным значениям элементами, и оно противоречит условию приведения к единицам норм столбцов или строк. Вместе с тем, нет никаких сомнений в том, что не ортогональные матрицы Адамара отражают специфический ортогональный базис, получаемый нормированием, которое тоже делать не нужно, если воспользоваться более общим определением нормы вектора. То есть, речь идет, все таки, об ортогональных матрицах, заданных косвенно, экивоками. Нас интересует свойство ортогональности, проявляющееся у ортогональных матриц, а к этому классу примыкают выделенные исторически матрицы с ортогональными столбцами и строками, нормирование тех и других, порою, невозможно по их определению.

Квазиортогональной (ортогональной матрицей в широком смысле этого слова) можно называть матрицу, построенную на системе ортогональных векторов, она ортогональна в узком смысле после ортонормирования.

М-МАТРИЦЫ

Определение М-матриц. М-матрицы, в узком смысле слова, это минимаксные ортогональные матрицы, оптимальные или локально-оптимальные по критерию минимума максимума абсолютных значений их элементов на классе матриц порядка n.

М-матрицы, в широком смысле слова, это матрицы с ортогональными вектор-столбцами или строками, являющиеся таковыми после нормирования строк или столбцов. Не теряя общности, в дальнейшем будем рассматривать матрицы с ортогональными вектор-столбцами, одинаково нормированными, т.е матрицы M порядка n, удовлетворяющие следующему равенству

M’M=?2I,
где I – единичная матрица, ? – норма столбцов (весовой коэффициент).

Важнейшими представителями M-матриц с ?2 равными n и n–1 являются матрицы Адамара и Белевича (С-матрицы, conference-matrices): матрицы с элементами {1, –1} и {1, 0, –1} соответственно, причем нулевые элементы расположены по диагонали. Максимум абсолютного значения элементов m (m-норма) обоих матриц связан с весовым коэффициентом простой зависимостью m=1/?.

Приведенная норма m=n1/2m, которая для матриц Адамара принимает минимально возможное у М-матриц значение m=1. Приведенная m-норма матриц Белевича больше единицы, но с ростом порядка n стремится к ней, принимая минимально возможное у М-матриц значение на порядках, отличных от порядков, на которых существуют матриц Адамара. Как видно, у этих матриц нет конкурентов, но дело в том, что они не всегда существуют.

Матрицам Адамара и Белевича присуще два качества: минимальная m-норма и малое количество уровней – значений их элементов.

Второе качество, оно также экстремально низкое у матриц Адамара. Поэтому, вводя обобщающее понятие, будем относить к M-матрицам также варианты, оптимальные по m-норме при заданном количестве уровней, т.е. матрицы, оптимальные на желаемой структуре. Как правило, это матрицы, локально-оптимальные по критерию минимума m-нормы, т.е. можно руководствоваться в классификации только этим селективным критерием.

Гипотеза Адамара о кратности порядков выделенных им минимаксных ортогональных матриц числу 4, закладывает основы теории соответствия чисел и ортогональных базисов. Напомним, что последовательности чисел 4k+1 и 4k+3 (4k–1) ввели в научный обиход Ферма и Эйлер. Ферма утверждал, что всякое простое число вида 4k+1 может быть представлено в виде суммы двух квадратов, причем единственным образом (простые числа вида 4k+3 исключены). Критерий Эйлера о разложимости n–1 на сумму двух квадратов входит в проверку необходимых условий существования матриц Белевича порядков n=4k+2.

Минимаксные ортогональные матрицы с минимальным числом уровней дают, в зависимости от остатка r деления порядка n на 4, четыре случая:

? r = 0 – матрицы Адамара (H), включая матрицы последовательности Сильвестра;
? r = 1 – матрицы Ферма (F), включая матрицы порядков, равных числам Ферма;
? r = 2 – матрицы Эйлера (E) и Белевича (С) с исключениями на основе критерия Эйлера;
? r = 3 – матрицы Мерсенна (M), включая матрицы порядков, равных числам Мерсенна.

В M-матрицы входят множества H, F, E (С) и M, в которых, как будет показано, последовательности Сильвестра и Мерсенна являются системообразующими. Оценки плотности охвата порядками матриц числовой оси питаются, соответственно, сходными гипотезами: гипотеза Адамара (перенос свойств матриц порядков последовательности Сильвестра на H), гипотеза Балонина (перенос свойств матриц порядков последовательности Мерсенна на М). Получается общая, для числовой оси, теория минимаксных ортогональных базисов.

Правило Сильвестра. Правило построения ортогональных матриц Адамара, предложенное еще Дж. Сильвестром, состоит в вычислении матриц порядков n=2k при помощи рекурсии

 

S2n =
  Sn
  Sn
 Sn
 –Sn

 

где S1=1.

Подводя итог. Важными представителями М-матриц являются матрицы Адамара и Белевича. В самом общем случае мы заинтересованы получать решения для любого порядка n, четного или нечетного, все равно. Уровни M-матриц не обязательно равны ±1 или 0, и они не всегда целочисленны: еще Кумер предложил рассматривать обобщенные целые, устроенные наподобие комплексных, но с целыми или иррациональными образующими, взятыми вместо корня из –1, вида a+bsqrt(2).

Множество M-матриц состоит, в общем, из подмножеств матриц, из которых двухуровневые адамаровы H-матрицы и трехуровневые C-матрицы изучены хорошо, а оставшиеся матрицы нечетных и некоторых пропущенных среди C-матриц четных порядков изучены недостаточно полно. Учитывая связь C-матриц с теорией чисел, это косвенное исследование области, в которой получение новых результатов традиционно сложно. Вакантные пропуски среди матриц Белевича отвечают некоторым нетривиальным объектам теории чисел, поэтому их замещения в области матриц интересны.

Такая косвенная связь разных по своей природе математических объектов напоминает соотношение между эллиптическими функциями и модулярными формами гипотезы Таниямы. Таким образом, речь идет также об оптимальных начальных (стартовых) матрицах сильвестровой последовательности, программу изучения которых заложил еще Адамар.

РЕГУЛЯРНЫЕ МАТРИЦЫ

Достоверно известные факты, полученные предварительным исследованием, следующие. С-матрицы, это первые матрицы с выделенной нулевой диагональю. В общем случае потенциальных диагоналей – равных между собой по абсолютной величине (и меньших по этому показателю максимума m) элементов – больше, их количество оценивается формулой

D=(n–1)/2.

Договоримся называть структуры, повторяющие логику построения латинских квадратов на усеченном числом уровней множестве элементов, регулярными. Такие матрицы ищутся переборным алгоритмом.

Оптимум по m-норме достигается для регулярных структур на достаточно низких порядках. С ростом порядка у оптимальных матриц наблюдается эмиссия части элементов с одного уровня на другой с разрушением регулярной структуры. Тем не менее, регулярные матрицы не исчезают вовсе, они сопровождают M-матрицы и близки к ним по оптимизируемому показателю.

Дальнейшее увеличение коэффициента n вызывает к жизни эффект, известный в теории нелинейных систем: если возрастание числа уровней рассматривать, как бифуркацию, существует критическая точка, когда состояние системы оценивается как хаотическое. Уровневая структура разрушается у матрицы уже 13-го порядка.

ДИАГРАММА МИРОНОВСКОГО

Диаграмма Мироновского показывает зависимость приведенных умножением на sqrt(n) m-норм от порядка n. У матриц Адамара m-норма оценивается как 1/sqrt(n), приведенная норма минимально возможная, она равна 1. Это нижняя оценка нормы.

У матриц Белевича m-норма оценивается как 1/sqrt(n-1), приведенная норма заведомо больше минимально возможной, адамаровой, но стремится к 1 с ростом порядка. Довольно очевидно, что чем меньше дисперсность абсолютных величин элементов М-матриц, тем меньше приведенная m-норма.

Диаграмма Мироновского – зависимость приведенной m-нормы от порядка

Показатель, отражающий стремление M-матрицы походить на адамарову, – инвариант преобразования (удвоения порядка) Сильвестра. Все матрицы, связанные преобразованием Сильвестра, имеют одну и ту же m-норму.

Таким образом, соответствующий алгоритм удвоения порядка отражает перенос m-норм вправо (это важно), а сходное преобразование C-матриц в адамаровы – вправо и вниз, до 1.

ГИПОТЕЗА БАЛОНИНА

На экспериментально построенной диаграмме Мироновского хорошо видно, что помимо полочки снизу просматривается ограничение падения амплитуд графика m-норм. Предположение о том, что приведенная норма высокоуровневых M-матриц не падает до 1, высказана Балониным Н.А.

Гипотеза Адамара. Согласно этой гипотезе для всех порядков n=4*k ( кратных 4: 4, 8, 12, 16, 20, ..), существуют адамаровы матрицы.

Гипотеза Балонина. Согласно этой гипотезе для всех порядков n=3+4*k (3, 7, 11, 15, 19, ..), существуют матрицы типа Мерсенна (М-матрицы с уровнями 1, –b).

Иными словами, для матриц порядков n=3+4*k аналогом последовательности Сильвестра является последовательность Мерсенна (модифицируется правило построения матриц высокого порядка из матриц низкого порядка), положения (гипотезы) и в том и в другом случаях расширяют множество ортогональным матриц, относительно величин уровней которых 1, -1 и 1, –b можно высказаться определенно, и не более того.

Гипотеза Балонина о приведенной норме. Приведенные m-нормы структурированных (уровневых) M-матриц типа Адамара, Белевича, Мерсенна с ростом n стремятся к 1, предположение (гипотеза) состоит в том, что для остальных минимаксных матриц это не так, есть иной предел b=9/8 (оптимистичная оценка, полочка).

У отдельных представителей матриц m может приближаться к 1, но с ростом порядка всегда найдутся “особо плохие”, в этом смысле, матрицы. Не все матрицы приближаются к адамаровым, всегда будут отклонения, и первой такой неструктурируемой матрицей является M13.

Всего существует 4 типа M-матриц: A,B,C,D, где A – адамаровы, C – матрицы Белевича, B (и можно добавить D, учитывая отличие порядков по модулю 4, но тогда опускаются пропуски среди матриц Белевича) – остальные матрицы, деление пока весьма условное. Положение, высказанное Мироновским, подтвердилось – между матрицами порядков 3 (mod 4) и 1 (mod 4) существует такая же разница, как между матрицами Адамара и Белевича (C-матрицами).

Казалось бы естественно предположить обратное, что приведенная m-норма M-матриц с ростом порядка убывает. Так оно и есть, но это касается лишь регулярных структур с относительно небольшим числом уровней. Если матрицы “хаотические”, то показатель дисперсности их элементов не убывает, он стабилизируется на некотором уровне, назовем его b-полочка.

Некоторое основание в пользу истинности этого положения заключается в сходстве алгоритмов квадратичной оптимизации, в том числе тех, которые были исследованы Фейгенбаумом.

Косвенное доказательство связано с известными в теории пропусками C-матриц. В самом деле, рассмотрим M-матрицу вдвое меньшего (нечетного) порядка, чем четный порядок C-матрицы. Для порядков, кратных четырем, то есть, для матриц Адамара, эту роль играют сами C-матрицы.

Преобразование Сильвестра работает на перенос приведенной нормы вправо. Так как этот показатель – инвариант преобразования Сильвестра, при гарантированном уменьшении m-нормы и стремлении этого показателя к 1, с увеличением n можно было бы найти матрицу, лучшую, чем C-матрица. А это невозможно, поскольку С-матрицы существуют не всегда, и это известно определенно.

Возможно, это путь к доказательству положения (гипотезы) Адамара. Не существование матриц Адамара противоречило бы механизму переноса низкого значения m-норм M-матриц вправо: оптимальных матриц удвоенного порядка, допустим, нет, а соответствующие им m-нормы, которые гарантированно уменьшаются, оказываются достижимы.

ОЦЕНКА КРИТИЧЕСКОГО УРОВНЯ НОРМЫ

Критическое для существования упорядоченной структуры М-матрицы значение дает приведенная норма m-матрицы 13-го порядка, для которой наблюдаются обширная эмиссия слоев и далекое отстояние субоптимальной регулярной структуры от оптимальной по этому показателю.

Регулярные матрицы более низкого порядка существуют как раз потому, что их показатель заметно выше b, правило Сильвестра дает при переносе вправо матрицы, далекие от оптимальных. Можно сказать, что критическая матрица 13-го порядка лежит на пересечении кривой m-норм с b-полочкой на диаграмме Мироновского.

Все последующие матрицы, хотя и индивидуальны, подвержены этому правилу. Оценивание критического значения приведенных норм важно для построения итерационных алгоритмов поиска M-матриц. Если приведенная норма достигла своего минимально возможного значения, искать более оптимальную матрицу бесполезно.

АЛГОРИТМ ПОИСКА M-МАТРИЦ

Алгоритм поиска M-матриц (опирается на ее определение) в цикле итерации сжимает матрицу по m-норме, например, применением функции насыщения к аномально большим значениям модулей ее элементов, а затем матрица ортонормируется, см. рисунок.

Итерационный алгоритм поиска структуры и параметров M-матриц

В качестве стартового приближения полезно брать теплицевы структуры с конечным числом уровней. Таковой является, например, матрица Гильбера с элементами Aij=m/(i-j) и единицами на диагонали.

Эффективность итераций зависит от сортировки столбцов по признаку первенства наиболее изменяемых – это подталкивает вращение ортов. Коэффициент сжатия элементов полезно последовательно ослаблять, итерационно увеличивая порог функции насыщения

pk=apk–1+(1–a),

где a<1 – параметр инерции процесса, pk – порог ограничения амплитуды элементов матрицы относительно максимального коэффициента (текущего значения m-нормы).

if (tick==0) { n=5; p=0.8; m=0.5;
M=hilbert(n,m); M=norms(M); m=maxabs(M);
}
p=0.995*p+0.005; M=sort(M);
M=sat(M,m*p); M=orth(M); m=maxabs(M); puts(tick+’ ‘+m);
if (tick%100==0) { L=sort(absm(colline(M))); mesh(L); }
if (tick<2000) restart(0);

Алгоритм находит отмеченные ранее матрицы 3 и 5 порядков, матрицы Адамара 12 и 20 порядков (с чего началась тема), C-матрицы Белевича, претенденты на пропуски в их последовательности – при подходящем выборе начальных условий.

M-матрица в этом ее определении становится продуктом итерационного процесса, и для ее анализа можно привлекать термины теории динамических систем, в том числе, понятия бифуркации, аттрактора и хаотического аттрактора.

В процессе последовательных бифуркаций скалярная динамическая система удваивает количество уровней. Матрица – это не скаляр, а вектор состояния системы варьируемой размерности. Соответственно, ее элементы занимают не один (как скаляр), а несколько фиксированных уровней.

Теория динамических систем предсказывает последовательный рост числа уровней аттрактора и фрактальную картину распределения. Периодические сокращения числа уровней для матриц Адамара и Белевича аналогичны окнам после критической точки на диаграмме Фейгенбаума.

МЯГКАЯ ФУНКЦИЯ НАСЫЩЕНИЯ

Недостаток и, одновременно, достоинство итерационного алгоритма состоит в том, что ее продуктом может являться локальный оптимум, который интересен сам по себе – именно так обнаруживаются побочные субоптимальные регулярные структуры.

Для их поиска нелинейность (функцию насыщения) можно менять, меняя, тем самым, искомые аттракторы. Например, помимо зоны амплитудного насыщения, создаются: посередине – сжатие, внизу – область растяжения.


Функция коррекции элементов матрицы при разном сжатии p=0.5..1.
t=time(1,20);
{{b=-1*t}} b=flip(b); t=b.concat(t);

f1=satfun(0.5); f2=satfun(0.6);
f3=satfun(0.7); f4=satfun(0.8);
f5=satfun(0.9); f6=satfun(1.0);

{{S=[t,f1,f2,f3,f4,f5,f6]; “S”=S}}

{{S=[t,f2,f6]}} plot(S,’2T’);

function satfun(p){
var w,p,q,g,F; var f=one(t);
for (var i=0;i<rows(t);i++) {
F=t[i]; w=2.5*PI; q=-p; g=0.3*(1-p);
F=F+g*(0.3*sign(F)+sin(w*F));
if (F>p) F=p;
if (F<q) F=q;
f[i]=F; }
return f;
}

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ M-МАТРИЦ

Алгоритм поиска целочисленных ортогональных матриц сводится к рассмотрению возможных значений знаков циклических по абсолютным значениям величин элементов структур, насчитывающих (n–1)/2 потенциальных диагоналей. Для матриц третьего порядка это всего одна (как у C-матриц) диагональ ±a, значение a не равно 0.

 

M =
a
b
b
b
 ±a
 ±b
b
 ±b
 ±a

 

Первая строка и первый столбец матрицы знаконормированы. По абсолютным значениям перед нами неправильный латинский и магический квадрат, рассматриваемый на усеченном множестве из (n+1)/2 элементов, чьи суммы по строкам и строкам равны между собой.

Условие ортогональности первых двух столбцов: ab±ab±bb=0 или 2a–b=0 (при a возьмем везде плюс, при b – минус), откуда b=2a или a=1, b=2. Элементарными преобразованиями итоговая матрица приводима к циклической

 

M =
 –1
2
2
2
 –1
2
2
2
 –1

 

Суммы элементов строк и столбцов у этой матрицы постоянны и равны 3.

С матрицей 5-го порядка все тоже очень интересно, циклическая по абсолютным значениям элементов матрица имеет вид

 

M =
a
c
c
c
b
b
 ±a
 ±c
 ±c
 ±c
c
 ±b
 ±a
 ±c
 ±c
c
 ±c
 ±b
 ±a
 ±c
c
 ±c
 ±c
 ±b
 ±a

 

Условие ортогональности первых двух столбцов приводит к уравнению

ba±ac±cc±cc±cb=0,

пусть ±cc±cc уйдет в 0 (как самое большое), cb компенсируется суммой cb=ba+ac, так как a – самое малый уровень. Из ортогональности первого и третьего столбцов имеем второе уравнение

ca±bc±ac±cc±cb=0,

достаточное для нахождения отношений всех уровней: предположим, что ca±ac=0, отсюда сразу получаем с=2b и, с учетом первого уравнения, b=3a/2.

Циклическая целочисленная матрица имеет уровни a=2, b=3, c=6 и принимает вид

 

M =
2
6
6
 –6
3
3
2
6
6
 –6
 –6
3
2
6
6
6
 –6
3
2
6
6
6
 –6
3
2

 

Суммы элементов строк и столбцов у этой матрицы постоянны и равны 11.

M=[[2,6,6,-6,3],[3,2,6,6,-6],[-6,3,2,6,6],[6,-6,3,2,6],[6,6,-6,3,2]];

{{X=M’*M}} mesh(X); S=sum(M); puts(S);

М-МАТРИЦЫ ПЕРВОГО ДЕСЯТКА

Матрица M1=1 является основанием основной сильвестровой последовательности и это единственная матрица нечетного порядка, которая формально входит в число адамаровых. Остальные М-матрицы нечетного порядка образуют альтернативные независимые ветви и уже поэтому заслуживают внимание.

МАТРИЦА M3

Базовый алгоритм находит целочисленное решение, имеющее после приведения первой строки и первого столбца к положительным значениям элементов, вид

 

M3 =
1
2
2
2
1
 –2
2
 –2
1

 

с нормой m=2/3.

if (tick==0) { n=3; p=0.95; m=0.5;
M=hilbert(n,m); M=norms(M); m=maxabs(M); mesh(M);
}
p=0.995*p+0.005; M=sort(M);
M=sat(M,m*p); M=orth(M); m=maxabs(M); puts(tick+’ ‘+m);
if (tick%50==49) { L=sort(absm(colline(M))); mesh(L); }
if (tick<1500) { restart(0); }else{
M=sort(M,mincenix(M));
min=minabs(M); {{M=M./min}}
M=norms(M,1); mesh(M); putm(M);
}

Оно совпадает, с точностью до перестановки строк и столбцов и умножения их на –1, с результатами построения ее на основе неправильного латинского квадрата и с циклической матрицей, отмеченной ранее.

Обозначим буквами a, b минимальный и максимальный ее элементы:

 

M3 =
a
b
b
b
a
 –b
b
 –b
a

 

Из условия ортогональности M’M=I следуют два уравнения для уровней a, b

2b2+a2=1, b=2*a

Первое из них C уравнение ортонормирования, второе показывает, что целочисленное решение C единственное.


M=[['a','b','b'],['b','a','-b'],['b','-b','a']];
S=simplify(equals(subs(muls(tr(M),M),eye(M)),zeros(M)));
putm(S);

Формула перехода от циклической М-матрицы третьего порядка

 

M =
 –1
2
2
2
 –1
2
2
2
 –1

 

к матрице Белевича C шестого порядка

 

2C =
  I+M
  I–M
  I–M
 –I–M

 

отличается, как видно, лишь множителем от формулы расчета матрицы Адамара двенадцатого порядка

 

A =
  I+C
  I–С
  I–C
 –I–C

 

иными словами, эта матрица стартует первую побочную ветвь сильвестровой последовательности матриц порядков 3, 6, 12, 24, … и ведет к той матрице, с которой она (последовательность) получила свое наименование C адамаровы матрицы.


M=[[-1,2,2],[2,-1,2],[2,2,-1]]; I=eye(M);
{{A=I+M; B=I-M; D=-A; C=[[A,B],[B,D]]; C=C./2; X=C’*C}}
putm(C); mesh(X)

С М-матрицами связан геометрический феномен, согласно которому удочку, превышающую по длине ограничение, действующее в общественном транспорте на любое из трех измерений поклажи, можно беспрепятственно провезти в чемодане, разместив ее по диагонали. Другая наглядная иллюстрация ставит вопрос о минимальной величиной сарая, в котором уместится противотанковый еж.

Некоторая неожиданность заключается в том, что сложенная из удочек крестовина оптимально размещается в квадратном пакете, но вот объемлющий трехмерный еж сарай – не куб. Матрица Адамара второго порядка – одноуровневая, тогда как ее обобщение в пространстве трех измерений имеет уровня два. Это заставляет задуматься о различии этих пространств.

Геометрическая интерпретация этой задачи, таким образом, звучит так – найти положение октаэдра, при котором он дает минимальные проекции на оси координат (задача о плотной упаковке).

Она следует из интерпретации трех столбцов матрицы как координат трех ортов – осей октаэдра. Иными словами. Дан единичный куб, найти максимальный вписанный в него октаэдр. Двойственная формулировка: найти минимальный октаэдр, описанный около единичного куба.

Оптимальный еж стоит двумя лапами на земле, третья приподнята – кирпич под одну их ножек на 1/4 высоты фигуры: нос опущен, хвост приподнят – поза птицы (голубя). Треугольные грани (основания) не параллельны поверхности, на которой он стоит, в итоге, ребром. Вершины сидят на ребрах охватывающего фигуру куба.

Графическая программа ниже отражает положение октаэдра непосредственно в процессе оптимизации его положения.

if (tick==0) { n=3; p=0.95; m=0.5;
M=hilbert(n,m); M=norms(M); m=maxabs(M);
}
p=0.995*p+0.005; M=sort(M);
M=sat(M,m*p); M=orth(M); m=maxabs(M); puts(tick+’ ‘+m);
A=sort(M,mincenix(M)); A=norms(A,1); show3D(A,m);
if (tick<200) restart(0);

function show3D(A,m) {
var i,n,x,y,z,a,b,X,Y,X1,X2,X3,X4,Y1,Y2,Y3,Y4,P;
OpenCanvas(‘S’,600,250); S.clear();
a=260; b=100; z=0; n=rows(A);
CY=’#227799′; CT=’#226688′;
CX1=’#55ddFF’; CX2=’#5599FF’;
CB1=’#227799′; CB2=’#3399aa’;
CF1=’#225577′; CF2=’#225577′;
/* CUB */
x=100*m; y=100*m; z=30*m;
X=[a+x+z,a+x+z]; Y=[b+y-z,b-y-z];
S.setColor(CY); S.fillPolygon(X,Y);
X=[a-x+z,a-x+z]; Y=[b+y-z,b-y-z];
S.fillPolygon(X,Y);
X=[a-x-z,a-x+z]; Y=[b+y+z,b+y-z];
S.fillPolygon(X,Y);
X=[a-x-z,a-x+z]; Y=[b-y+z,b-y-z];
S.fillPolygon(X,Y);
X1=a-x+z; X2=a+x+z; Y1=b-y-z; Y2=b+y-z;
X=[X1,X1,X2,X2]; Y=[Y1,Y1+1,Y1+1,Y1];
S.fillPolygon(X,Y);
X=[X1,X1,X2,X2]; Y=[Y2,Y2+1,Y2+1,Y2];
S.fillPolygon(X,Y);
/* FLAT PARTS */
for (i=0;i<n;i++) {
x=A[i][0]*100; y=A[i][1]*100; z=A[i][2]*30;
if (i) {
X1=X1.concat(a+x-z); Y1=Y1.concat(b-y+z);
X2=X2.concat(a-x+z); Y2=Y2.concat(b+y-z);}else{
X1=[a+x-z]; Y1=[b-y+z];
X2=[a-x+z]; Y2=[b+y-z]; }
}
{{X=X2; Y=Y2}}
S.setColor(CB1); S.fillPolygon(X,Y);
X[1]=X1[1]; Y[1]=Y1[1];
S.setColor(CB2); S.fillPolygon(X,Y);
{{X=X1; Y=Y1}} X[0]=X2[0]; Y[0]=Y2[0];
S.setColor(CB1); S.fillPolygon(X,Y);
{{X=X1; Y=Y1}} X[2]=X2[2]; Y[2]=Y2[2];
S.setColor(CT); S.fillPolygon(X,Y);
/* DRAW AXIS */
for (i=0;i<3;i++) {
x=A[i][0]*100; y=A[i][1]*100; z=A[i][2]*30;
X=[a,a+x-z]; Y=[b,b-y+z];
S.setColor(CX1); S.fillPolygon(X,Y);
X=[a,a-x+z]; Y=[b,b+y-z];
S.setColor(CX2); S.fillPolygon(X,Y);
}
/* FRONT FLATS */
S.setColor(CF1); S.fillPolygon(X1,Y1);
{{X=X2; Y=Y2}} X[0]=X1[0]; Y[0]=Y1[0];
S.setColor(CF2); S.fillPolygon(X,Y);
/* CUB */
x=100*m; y=100*m; z=30*m;
X=[a+x-z,a+x-z]; Y=[b+y+z,b-y+z];
S.setColor(CY); S.fillPolygon(X,Y);
X=[a-x-z,a-x-z]; Y=[b+y+z,b-y+z];
S.setColor(CY); S.fillPolygon(X,Y);
X=[a+x-z,a+x+z]; Y=[b+y+z,b+y-z];
S.setColor(CY); S.fillPolygon(X,Y);
X=[a+x-z,a+x+z]; Y=[b-y+z,b-y-z];
S.setColor(CY); S.fillPolygon(X,Y);
X1=a-x-z; X2=a+x-z; Y1=b-y+z; Y2=b+y+z;
X=[X1,X1,X2,X2]; Y=[Y1,Y1+1,Y1+1,Y1];
S.setColor(CY); S.fillPolygon(X,Y);
X=[X1,X1,X2,X2]; Y=[Y2,Y2+1,Y2+1,Y2];
S.setColor(CY); S.fillPolygon(X,Y);
S.paint();
}

Положение оптимального октаэдра в гиперкубе является характеристикой вместимости пространства.

В двумерном пространстве круг площадью пR2, вмещающий в себя ромб площадью 2R2 (крестовину), не меняется в процессе его преобразований, их объемы отличаются в п раз. Квадрат, охватывающий ромб, уменьшается и при повороте ромба на 45 градусов совпадает с ромбом, обе фигуры вписываются в круг.

В трехмерном пространстве сфера объемом 4пR3/3, вмещающая в себя октаэдр объемом 4R3/3, не меняется в процессе его преобразований, их объемы отличаются в п раз. Куб, охватывающий октаэдр, уменьшается (его начальный объем составляет 2/3 объема неповернутого октаэдра), но не совмещается с ним и выступает за пределы сферы.

Качественное отличие двумерного и трехмерного случаев состоит в том, что ромб и квадрат, это, в сущности, одно и то же (смотря как посмотреть), тогда как октаэдр в принципе отличается от куба.

Во всех пространствах размерности более 4 существует только 3 типа правильных многогранников: n-мерный симплекс (n-мерный тетраэдр, обобщение треугольника), n-мерный октаэдр и n-мерный куб (гиперкуб).

Это повышает интерес к М-матрицам как к геометрическим показателям пространств. Адамаровы матрицы близки по смыслу к первой интерпретации, когда с размещением октаэдра не возникает проблем (что, впрочем, еще не доказано). В общем случае, это не так.

МАТРИЦА M5

Трехуровневая целочисленная регулярная (т.е. двухдиагональная) М-матрица с амплитудными значениями потенциальных диагоналей a=2 и b=3 и амплитудой элементов c=6. Среди трех версий

 

M5 =
2
6
6
 –6
3
3
2
6
6
 –6
 –6
3
2
6
6
6
 –6
3
2
6
6
6
 –6
3
2
M5 =
3
2
6
6
 –6
 –6
3
2
6
6
6
 –6
3
2
6
6
6
 –6
3
2
2
6
6
 –6
3
M5 =
 –6
3
2
6
6
6
 –6
3
2
6
6
6
 –6
3
2
2
6
6
 –6
3
3
2
6
6
 –6

 

с нормой m=6/sqrt(121), последняя матрица C сигнатурно-симметриричная.

if (tick==0) { n=5; p=0.8; m=0.5;
M=hilbert(n,m); M=norms(M); m=maxabs(M); mesh(M);
}
p=0.995*p+0.005; M=sort(M);
M=sat(M,m*p); M=orth(M); m=maxabs(M); puts(tick+’ ‘+m);
if (tick%50==49) { L=sort(absm(colline(M))); mesh(L); }
if (tick<1500) { restart(0); }else{
M=sort(M,mincenix(M));
min=minabs(M); {{M=2*M./min}}
M=norms(M,1); mesh(M); putm(M);
}

Из условия ортогональности M’M=I следуют три уравнения для уровней a, b, c

3c2+b2+a2=1, a=cb/(c+b)=0, c=2b

Первое из них C уравнение ортонормирования, второе и третье задают целочисленные значения уровней (если нормирование столбцов снять).


M=[['a','c','c','-c','b'],['b','a','c','c','-c'],['-c','b','a','c','c'],['c','-c','b','a','c'],['c','c','-c','b','a']];
S=simplify(equals(subs(muls(tr(M),M),eye(M)),zeros(M)));
putm(S);

Вспомним, что через C10 лежит путь ко второй найденной Адамаром матрице A20, кроме того, C это случай-исключение, поскольку симметричная матрица Якобсталя строится через блочную матрицу Пэли. Упрощенный путь, построение с помощью четырех блоков

 

C10 =
  L
  N
  N’
  R

 

где R=–L, видится сомнительным. Условие ортогональности накладывает следующие ограничения на блоки

LN+NR=0, NN’=(n–1)I–L2, n=10.

Если нормировать M5 (сделать положительными первый столбец и строку) и подтянуть минимальную диагональ к нулю, а элементы b,c к ±1, то итоговая структура

 

M =
0
1
1
1
1
1
0
1
 –1
 –1
1
 –1
0
1
 –1
1
 –1
1
0
1
1
1
 –1
 –1
0

 

все еще будет отличаться от симметричной тремя парами элементов. Пусть далее отрицательные элементы корректируются до +1, составив, тем самым, симметричную матрицу

 

L =
0
1
1
1
1
1
0
1
 –1
1
1
1
0
1
 –1
1
 –1
1
0
1
1
1
 –1
1
0

 

Смягчим условие R=–L требованием знакоинверсии у этих двух симметричных матриц хотя бы спектра. Для этого достаточно инвертировать в –1 две пары из трех отмеченных так, чтобы в итоге получилась наиболее сбалансированная по суммам строк и столбцов матрица (опять встретился этот показатель магических квадратов)

 

R =
0
1
1
1
1
1
0
 –1
 –1
1
1
 –1
0
1
 –1
1
 –1
1
0
 –1
1
1
 –1
 –1
0

 

До сих пор все еще можно алгоритмизировать, однако далее начинается комбинаторная часть, весьма характерная для диофантовых уравнений. При принятых условиях нормировки L и R, N нормируется инверсно: первая строка состоит из +1, первый столбец (за исключением верхнего элемента) из –1, знаки остальных 16 свободных находятся перебором до соблюдения условий ортогональности. Алгоритм действительно находит матрицу Белевича C10.

if (tick==0) {
M=[[2,6,6,-6,3],[3,2,6,6,-6],[-6,3,2,6,6],[6,-6,3,2,6],[6,6,-6,3,2]];
L=[[0,1,1,-1,1],[1,0,1,1,-1],[-1,1,0,1,1],[1,-1,1,0,1],[1,1,-1,1,0]];
L=norms(L,1); {{R=L}}
L[1][4]=1; L[2][1]=1; L[4][3]=1;
R[1][4]=1; R[1][2]=-1; R[3][4]=-1;
n=rows(L); b=2*n-1; I=eye(L); {{LL=b*I-L*L}}
N=ones(L); for (i=1;i<n;i++) N[i][0]=-1;
}
for (k=0;k<1000;k++) if (b>0) {
N=change(N); if (tick>10) {
{{b=L*N+N*R}} b=norm(b);
if (b==0) { {{b=N*N’-LL}} b=norm(b); };};};
mesh(N);
if (b>0) { restart(0); }else{
{{B=N’; C=[[L,N],[B,R]]; X=C’*C}} mesh(C); putm(X);
D=eig(L); D=diag(D); puts(D);
D=eig(R); D=diag(D); puts(D);
}

function change(A) {
var i,i,n=rows(A);
for (i=1;i<n;i++) { var c=1;
for (j=1;j<n;j++) { var aij=A[i][j]; A[i][j]=-aij;
if (aij>0) { j=n; c=-c; };} if (c<0) i=n; }
return A;
}

МАТРИЦА M7

Первая матрица, у которой наблюдается незначительный отрыв по m-норме оптимального решения от регулярной структуры, которая тоже существует. Алгоритм находит то и другое решение, к второму переходим изменением амплитудного коэффициента гильбертовой матрицы (взять m=0.8).

if (tick==0) { n=7; p=0.5; m=0.5;
M=hilbert(n,m); M=norms(M); m=maxabs(M); mesh(M);
}
p=0.995*p+0.005; M=sort(M);
M=sat(M,m*p); M=orth(M); m=maxabs(M); puts(tick+’ ‘+m);
if (tick%50==49) { L=sort(absm(colline(M))); mesh(L); }
if (tick<1500) { restart(0); }else{
M=sort(M,mincenix(M)); M=norms(M,1); mesh(M); putm(M);
}

Оптимальная структура с уровнями a,b,c,d,e иррегулярна, между эполетными уровнями a,d по 6 элементов разместились 7 элементов двух промежуточных уровней b,c в 3 и 4 элемента, соответственно. По отношению к регулярной структуре наблюдается эмиссия пары элементов верх.

 

M7 =
a
e
e
e
e
e
b
e
a
c
 -e
 -e
d
e
e
c
 -e
e
 -a
 -d
e
e
 -e
e
 -b
e
 -e
a
e
 -e
 -a
e
 -c
d
 -e
e
d
 -d
 -e
d
b
 -e
b
e
e
a
 -e
 -e
 -e

 

Пару квадратичных уравнений, следующих из условия ортогональности, 5e2+a2+b2=1 и 3e2+b2+3d2=1 объединяем (вычитанием), с учетом d=e–a

2a2–6ae+e2=0,
отсюда первый уровень a=e(3–sqrt(7))/2, второй корень отклоняем, т.к. a меньше e. Остальное дают линейные связи d=e–a (эполетное свойство – равновеликие плечи), с=d–b, b=ae/d.

M=mmatrix(7);
S=simplify(equals(subs(muls(tr(M),M),eye(M)),zeros(M)));
putm(S);

function mmatrix(n) {
M=[['a','e','e','e','e','e','b'], ['e','a','c','-e','-e','d','e'], ['e','c','-e','e','-a','-d','e'], ['e','-e','e','-b','e','-e','a'], ['e','-e','-a','e','-c','d','-e'], ['e','d','-d','-e','d','b','-e'], ['b','e','e','a','-e','-e','-e']];
return M;
}

У регулярной структуры первые нижние три уровня совпадают между собой по амплитуде, в итоге имеем лишь два уровня

 

R7 =
b
a
a
a
b
b
b
a
b
 -a
b
 -b
 -b
a
a
 -a
b
b
 -b
a
 -b
a
b
b
 -a
a
 -b
 -b
b
 -b
 -b
a
b
 -a
 -a
b
 -b
a
 -b
 -a
 -a
b
b
a
 -b
 -b
 -a
b
 -a

 

МАТРИЦА M9

Вторая матрица, у которой наблюдается отличное от регулярной структуры оптимальное решение. Алгоритм находит оба решения (для поиска регулярной структуры взять m=0.8).

if (tick==0) { n=9; p=0.5; m=0.5;
M=hilbert(n,m); M=norms(M); m=maxabs(M); mesh(M);
}
p=0.995*p+0.005; M=sort(M);
M=sat(M,m*p); M=orth(M); m=maxabs(M); puts(tick+’ ‘+m);
if (tick%50==49) { L=sort(absm(colline(M))); mesh(L); }
if (tick<1500) { restart(0); }else{
M=sort(M,mincenix(M)); M=norms(M,1); mesh(M); putm(M);
}

Ни та, ни другая матрица не повторяют в точности черт матриц предыдущего порядка в том смысле, что у оптимального решения число уровней не увеличивается по отношению к регулярному, а уменьшается. Эмиссия элементов идет не вверх, а вниз.

 

M9 =
  b
  d
  c
  b
  d
  d
  b
  d
  d
  d
  b
 -c
  d
 -d
 -d
  d
  b
  b
  c
 -c
 -a
  c
  c
  c
  c
 -c
 -c
  b
  d
  c
  d
  b
 -d
 -d
 -b
 -d
  d
 -d
  c
  b
 -d
  b
 -d
 -b
  d
  d
 -d
  c
 -d
  b
 -d
  b
  d
 -b
  b
  d
  c
 -d
 -d
  b
  d
 -d
 -b
  d
  b
 -c
 -b
 -b
  d
 -d
  d
 -d
  d
  b
 -c
 -d
  d
 -b
 -b
 -d
  d

 

Между уровнями a,b,c,d существует линейная связь 3b–a=d, квадратичные уравнения исключениями сводятся к разрешимому относительно младшего уровня уравнению

9a2–10(a+d)2+18d2=0,

откуда a=(6sqrt(3)–10)d, берется меньший корень. Далее b=(a+d)/3, c=±sqrt(d2–b2).

M=mmatrix(9);
S=simplify(equals(subs(muls(tr(M),M),eye(M)),zeros(M)));
putm(S);

function mmatrix(n) {
M=[['b','d','c','b','d','d','b','d','d'], ['d','b','-c','d','-d','-d','d','b','b'], ['c','-c','-a','c','c','c','c','-c','-c'], ['b','d','c','d','b','-d','-d','-b','-d'], ['d','-d','c','b','-d','b','-d','-b','d'], ['d','-d','c','-d','b','-d','b','d','-b'], ['b','d','c','-d','-d','b','d','-d','-b'], ['d','b','-c','-b','-b','d','-d','d','-d'], ['d','b','-c','-d','d','-b','-b','-d','d']];
return M;
}

Уровни регулярного решения не сливаются. Нормы обоих решений по прежнему близки. Матрицы первого десятка, таким образом, – уровневые, причем значения уровней можно получить аналитически точно как алгебраические числа – корни линейных и квадратичных полиномов с целыми коэффициентами.

Пирамиды Гиза – уровневость, древнее свойство

М-МАТРИЦЫ ВТОРОГО ДЕСЯТКА

Тинайджеры – матрицы второго десятка. Для нахождения регулярных структур в функцию сжатия помимо насыщения вносится дополнительная нелинейность уровневая (т.е. насыщение снизу, для поиска C-матриц возможен и гистерезис) и тригонометрическая.

Функция коррекции элементов матрицы при разном сжатии p=0.5..1.

МАТРИЦА М11

Матрица M11 – регулярна.

 

M11 =
  a
  f
  d
  f
  f
  f
  f
  c
  e
  f
  b
  f
 -f
  b
  a
  f
 -f
 -c
  e
  d
 -f
  f
  d
  b
 -f
  e
 -f
  f
 -a
  f
 -f
 -c
  f
  f
  a
  e
 -f
 -f
  f
 -f
 -f
  c
  b
  d
  f
  f
 -f
 -f
  f
 -c
  e
 -d
 -b
  a
  f
  f
 -f
  f
  f
 -c
 -e
  d
 -b
 -f
  f
  a
  f
 -c
 -a
 -f
  e
  d
 -b
  f
 -f
  f
 -f
  c
  e
  f
 -f
 -d
 -b
  f
  f
  a
 -f
 -f
  e
  d
 -f
  c
 -b
 -f
 -f
  a
  f
  f
 -f
  f
 -f
 -c
  b
  a
  f
  f
 -f
  f
 -d
 -e
  b
  f
  f
  d
  f
  a
 -f
 -f
 -f
 -e
 -c

 

На этой матрице пора познакомиться с особенностями выбора начальных условий: ее проще искать, начиная с транспонированной матрицы Гильберта, что обеспечивается сменой знака амплитудного коэффициента (поскольку ее элементы зависят от разности индексов).

if (tick==0) { n=11; p=0.75; m=-0.1;
M=hilbert(n,m); M=norms(M); m=maxabs(M); mesh(M);
}
p=0.995*p+0.005; M=sort(M);
M=sat(M,m*p); M=orth(M); m=maxabs(M); puts(tick+’ ‘+m);
if (tick%50==49) { L=sort(absm(colline(M))); mesh(L); }
if (tick<1500) { restart(0); }else{
M=sort(M,mincenix(M)); M=norms(M,1); mesh(M); putm(M);
}

В условие ортогональности замешаны элементы a,b,c,d,e всех 5=(n–1)/2 ступеней, линейно зависящих от старшего параметра f (главного элемента).

6*f*f+e*e+d*d+c*c+b*b+a*a-1=0, 2*f*f-d*e+c*f-c*e-b*f-b*d-2*a*f=0,
d*f-2*b*f+a*f-a*d=0, f*f+e*f-d*f-c*f-c*d+b*f-b*e+2*a*f=0, f*f-2*e*f+2*d*f-c*f-b*c+a*f+a*b=0,
f*f-e*f-c*f+2*b*f-a*e-a*c=0, 2*f*f+d*e-c*f+c*e+b*f+b*d+2*a*f=0

Первое условие, это условие нормировки. Далее машина не обещает ничего хорошего, в смысле распутывания значений элементов в радикалах. Этот случай примечателен тем, что второй порядок стартует “как положено”, с регулярной матрицы.

M=mmatrix(11);
S=simplify(equals(subs(muls(tr(M),M),eye(M)),zeros(M)));
puts(S);

function mmatrix(n) {
M=[['a','f','d','f','f','f','f','c','e','f','b'], ['f','-f','b','a','f','-f','-c','e','d','-f','f'], ['d','b','-f','e','-f','f','-a','f','-f','-c','f'], ['f','a','e','-f','-f','f','-f','-f','c','b','d'], ['f','f','-f','-f','f','-c','e','-d','-b','a','f'], ['f','-f','f','f','-c','-e','d','-b','-f','f','a'], ['f','-c','-a','-f','e','d','-b','f','-f','f','-f'], ['c','e','f','-f','-d','-b','f','f','a','-f','-f'], ['e','d','-f','c','-b','-f','-f','a','f','f','-f'], ['f','-f','-c','b','a','f','f','-f','f','-d','-e'], ['b','f','f','d','f','a','-f','-f','-f','-e','-c']];
return M;
}

Правилом Сильвестра приведенная норма переносима на старшие порядки, вправо. Наличие малодисперсных (по уровням элементов) матриц низкой нормы позволяло бы находить альтернативу известным пропускам у C-матриц. Это касается уже не существующей C22, но у стартовой M11 приведенная норма еще слишком высока, чтобы решение

 

  M11
  M11
  M11
 –M11

 

претендовало на альтернативу (было бы оптимальным). Сам по себе довод о критичности значения приведенной нормы структурированных матриц справедлив и находит подтверждение на следующем порядке.

МАТРИЦА М13

Матрица M13 – хаотическая.

if (tick==0) { n=13; p=0.15; m=0.5;
M=hilbert(n,m); M=norms(M); m=maxabs(M); mesh(M);
}
p=0.995*p+0.005; M=sort(M);
M=sat(M,m*p); M=orth(M); m=maxabs(M); puts(tick+’ ‘+m);
if (tick%50==49) { L=sort(absm(colline(M))); mesh(L); }
if (tick<1500) { restart(0); }else{
M=sort(M,mincenix(M)); M=norms(M,1); mesh(M); putm(M);
}

Точку зрения на то, что перед нами именно хаотический аттрактор (после серии бифуркаций) поддерживает теория нелинейных систем и известные фрактальные свойства адамаровых матриц, чья структура связана с треугольником Серпинского.

Увеличение числа полочек (и амплитуды их) с увеличением порядка матрицы

Этот случай подвергся тщательному изучению, поскольку принципиальная несходимость к уровневому варианту, потребовал осмысления. Слабая эмиссия элементов на соседние уровни, наблюдаемая у матриц M7, M9, приобретает здесь доминирующий характер.

Казалось бы, после пары иррегулярных матриц и следующей регулярной M11, следовало ожидать парного – такого же регулярного – решения. Это не так. Отчасти это объяснимо общностью матриц M9, M13, у них n=1 (mod 4).

Матрица M13 не заканчивает, а начинает новый цикл матриц, после адамаровой структуры A12. Начинает его падением приведенной нормы, достигающей некоторого критического, для структурированных матриц, значения. При p=0.15 и m=0.4 наблюдается замыленный ступенчатый вариант, но норма его выше оптимального.

Изменением функции насыщения в ветви обратной связи алгоритма были найдены иррегулярный двухуровневый и регулярный трехуровневый (две нижние полочки по три ступени в n=13 элементов) варианты, последних существует даже несколько.

У всех структурированных вариантов норма заметно выше оптимума, который легко запомнить: по прихотливой случайности пороговое значение близко 0.31 (корреляция порядка и порога нормы наблюдается и у M22).

Неоптимальный двухуровневый вариант легко находится при введении насыщения не только сверху, но и снизу (отталкиванием элементов от 0).

if (tick==0) { n=13; p=0.5; m=0.5;
M=hilbert(n,m); M=norms(M); m=maxabs(M); mesh(M);
}
p=0.995*p+0.005; M=sort(M);
min=minabs(M); M=sat(M,m*p,min/p);
M=orth(M); m=maxabs(M); puts(tick+’ ‘+m);
if (tick%50==49) { L=sort(absm(colline(M))); mesh(L); }
if (tick<1500) { restart(0); }else{
M=sort(M,mincenix(M)); M=norms(M,1); mesh(M); putm(M);
}

Этот локальный оптимум, в отличие от эфемерных трехуровневых структур, устойчив. Недостаток его состоит в том, что нижняя полочка хотя и кратна n=13, не подчиняется сформулированному для регулярных структур правилу. Кратность ее равна 9, а не (n–1)/2.

Впервые регулярную трехуровневую структуру нашел Л.А. Мироновский, в честь его она называется L-matrix (от Leo). Для этого впервые потребовалась S-образная функция насыщения, описанная вместе с базовым алгоритмом. Ниже поиск ведется от двухуровневой структуры.

if (tick==0) { n=13; p=0.5;
M=matrix13_2(); M=norms(M); m=maxabs(M); mesh(M);
}
p=0.995*p+0.005; M=sort(M); M=sats(M,m,p);
M=orth(M); m=maxabs(M); puts(tick+’ ‘+m);
if (tick%50==49) { L=sort(absm(colline(M))); mesh(L); }
if (tick<2000) { restart(0); }else{
M=sort(M,mincenix(M)); M=norms(M,1); mesh(M); putm(M);
}

function sats(A,m,p){
var i,j,n,w,p,q,g,F;
w=2.5*PI; q=-p; g=0.3*(1-p); n=rows(A);
for (i=0;i<n;i++) for (j=0;j<n;j++) {
F=A[i][j]/m; F=F+g*(0.3*sign(F)+sin(w*F));
if (F>p) { F=p; }else{ if (F<q) F=q; }
A[i][j]=m*F; }
return A;
}

function matrix13_2() {
n=13; a=1/(3-sqrt(3)); b=1;
A=[['a','a','b','b','a','a','b','a','a','a','a','b','a'], ['b','-a','a','-b','-a','b','a','-a','-a','b','-a','a','-a'], ['a','a','-a','-a','a','-b','b','-b','a','a','a','-a','-b'], ['b','-a','-b','a','-a','-a','a','b','-a','-a','b','a','-a'], ['a','-b','-a','b','a','a','-a','a','a','a','-b','-a','-b'], ['a','a','-a','b','-b','a','-a','-b','-b','a','a','-a','a'], ['a','-b','-a','-a','a','a','-a','-b','a','-b','a','b','a'], ['a','a','-a','-a','a','a','b','a','-b','-b','-b','-a','a'], ['b','-a','a','a','-a','-a','a','-a','b','-a','-a','-b','b'], ['a','a','b','-a','-b','a','-a','a','a','-b','a','-a','-b'], ['b','b','a','a','b','-a','-b','-a','-a','-a','-a','a','-a'], ['a','a','-a','-a','-b','-b','-a','a','a','a','-b','b','a'], ['a','-b','b','-a','a','-b','-a','a','-b','a','a','-a','a']];
for (i=0;i<n;i++) for (j=0;j<n;j++) A[i][j]=eval(A[i][j]);
return A;}

МАТРИЦА М15

Матрица M15 ведет себя ровно также, как и M13. Лимит нормы на структуры исчерпан, некоторое различие наблюдается лишь в профиле.

if (tick==0) { n=15; p=0.15; m=0.5;
M=hilbert(n,m); M=norms(M); m=maxabs(M); mesh(M);
}
p=0.995*p+0.005; M=sort(M);
M=sat(M,m*p); M=orth(M); m=maxabs(M); puts(tick+’ ‘+m);
if (tick%50==49) { L=sort(absm(colline(M))); mesh(L); }
if (tick<1500) { restart(0); }else{
M=sort(M,mincenix(M)); M=norms(M,1); mesh(M); putm(M);
}

На этом порядке устойчивой является трехуровневая регулярная структура и вылавливается несколько больший набор слабо устойчивых субоптимальных регулярных матриц.

МАТРИЦА М17

Матрица M15 ведет себя ровно также, как и M13, М15.

if (tick==0) { n=17; p=0.15; m=0.5;
M=hilbert(n,m); M=norms(M); m=maxabs(M); mesh(M);
}
p=0.995*p+0.005; M=sort(M);
M=sat(M,m*p); M=orth(M); m=maxabs(M); puts(tick+’ ‘+m);
if (tick%50==49) { L=sort(absm(colline(M))); mesh(L); }
if (tick<1500) { restart(0); }else{
M=sort(M,mincenix(M)); M=norms(M,1); mesh(M); putm(M);
}

На этом порядке устойчивой является двухуровневая регулярная структура, субоптимальные регулярные матрицы не найдены.

МАТРИЦА М19

Матрица M19 ведет себя ровно также, как и M13, М15, M17.

if (tick==0) { n=19; p=0.15; m=0.5;
M=hilbert(n,m); M=norms(M); m=maxabs(M); mesh(M);
}
p=0.995*p+0.005; M=sort(M);
M=sat(M,m*p); M=orth(M); m=maxabs(M); puts(tick+’ ‘+m);
if (tick%50==49) { L=sort(absm(colline(M))); mesh(L); }
if (tick<1500) { restart(0); }else{
M=sort(M,mincenix(M)); M=norms(M,1); mesh(M); putm(M);
}

На этом порядке субоптимальные регулярные матрицы не найдены, нет также, помимо известных квазидиагональных структур очень большой нормы никаких иных уровневых решений.

Общее заключение здесь такое, что профиль хаотической матрицы примерно одинаков и индифферентен к порядку, как и приведенная норма, изучение которой на высоких порядках представляет особый интерес.

М-МАТРИЦЫ ТРЕТЬЕГО ДЕСЯТКА

Матрицы третьего десятка не внесли бы сколь нибудь существенную добавку в изложение, не будь среди них члена пропущенной последовательности C-матриц, а именно, матрицы M22. Матрица M21 – хаотична. Это пока все, что по ее поводу можно сказать.

МАТРИЦА М22

Матрица M22 – предмет исследования.

 

M22 =
  a
  f
  f
  f
  f
  f
  f
  f
  f
  e
  f
  b
  f
  f
  f
  f
  f
  d
  f
  f
  f
  c
  f
  a
 -f
  f
 -f
 -f
  f
 -c
  f
 -f
  f
  f
  d
 -f
 -f
  f
  f
  b
 -e
  f
 -f
 -f
  f
 -f
  a
 -f
 -f
 -f
 -f
  f
  f
  f
 -f
  f
  c
  b
  e
  f
  f
 -f
  f
 -f
 -f
 -d
  f
  f
 -f
  a
 -f
  f
  b
 -f
 -f
  f
 -f
  f
  f
 -d
  f
  e
 -f
 -c
 -f
 -f
  f
  f
  f
 -f
 -f
 -f
 -a
 -f
  f
  f
 -f
 -c
  b
 -f
  f
  f
  d
 -f
  f
 -f
 -f
  f
  f
  e
  f
 -f
  e
  f
 -f
  a
  d
  f
  f
  f
 -f
 -c
 -f
 -f
 -f
 -f
  f
  f
 -f
 -f
  b
  f
  f
  f
 -f
  b
  f
  d
 -a
  f
  f
  f
  c
 -f
  f
  f
 -f
 -f
 -f
 -f
 -f
 -e
 -f
 -f
  f
 -c
  f
 -f
  f
  f
  f
 -a
  f
 -f
 -f
  f
 -f
  e
 -b
  d
 -f
 -f
 -f
  f
 -f
  f
  f
  f
  f
 -f
 -f
  f
  f
 -e
 -a
  f
  d
 -f
 -f
 -f
  f
 -f
  b
 -f
  c
  f
 -f
 -f
  f
  f
 -f
 -f
  c
  e
 -f
  f
 -f
 -a
 -f
  f
  b
 -f
 -f
 -f
  f
  f
  f
  d
 -f
  f
  e
 -f
  f
  f
 -b
  f
 -c
  f
 -d
 -f
 -a
 -f
  f
 -f
 -f
  f
 -f
 -f
  f
  f
  f
 -f
  b
  f
  f
  f
  e
 -c
 -f
  f
 -f
 -f
  f
 -a
 -f
 -f
  f
  f
  d
 -f
 -f
 -f
 -f
  f
  f
  d
  c
  f
  f
 -f
  f
 -f
 -f
 -b
 -f
  e
 -a
  f
 -f
 -f
  f
 -f
  f
 -f
  f
 -f
  f
 -f
  b
 -d
  f
 -f
  f
 -f
 -f
  f
  f
 -f
  f
 -a
 -f
  f
 -c
  f
  f
 -f
 -e
  f
  f
 -f
 -f
  f
  d
 -f
 -f
 -b
  f
  f
  f
  f
 -f
 -f
  a
 -f
 -e
 -f
  f
  f
  c
  f
  f
  f
  f
 -f
 -f
 -f
 -f
  d
 -f
  f
  e
  f
 -f
  f
 -f
  a
 -f
  f
 -f
  c
  f
 -b
  f
 -e
  f
 -f
  f
  f
 -f
 -f
  b
 -f
  f
  d
  f
 -c
  f
 -f
  a
  f
 -f
 -f
  f
 -f
  d
  b
 -f
 -c
 -f
  f
 -f
 -f
  e
 -f
  f
 -f
 -f
  f
 -f
  f
  f
 -a
  f
 -f
  f
  f
  f
  f
  f
  e
 -f
 -f
 -f
 -f
  c
 -f
 -f
 -f
  f
  f
  f
 -f
 -f
  f
  a
  b
 -d
  f
  f
  f
 -f
 -f
  f
 -f
  f
  f
  f
 -d
 -f
 -f
 -f
 -f
  f
  c
 -f
  e
  b
 -a
  f
 -f
  f
 -f
 -f
  f
  f
  b
 -f
 -f
 -f
  f
 -f
 -f
 -e
  f
  c
  f
  f
  f
 -d
  f
 -a
 -f
  c
 -f
 -d
  f
 -f
  f
  e
  f
 -f
 -f
  f
  f
 -f
  f
  f
 -b
 -f
  f
  f
 -f
 -f
 -a

 

На этом порядке сходимость алгоритма чувствительна не только к амплитуде, но и к порядку следования столбцов стартовой гильбертовой матрицы. Приходится вводить вектор сортировки.

if (tick==0) { n=22; p=0.25; m=0.4; M=hilbert(n,m);
ix=[0,21,20,1,19,2,18,3,4,17,16,5,15,6,7,14,8,13,12,9,10,11];
iv=[0,3,5,7,8,11,13,14,16,19,20,21,18,17,15,12,10,9,6,4,2,1]; // inversed
M=sort(M,ix); M=norms(M); m=maxabs(M); mesh(M);
}else{ M=sort(M); }
p=0.995*p+0.005; M=sat(M,m*p); M=orth(M); m=maxabs(M);
puts(tick+’ ‘+m);
if (tick%50==49) { L=sort(absm(colline(M))); mesh(L); }
if (tick<1500) { restart(0); }else{
M=sort(M,mincenix(M)); M=norms(M,1); mesh(M); putm(M);
}

Выловить такую сортировку, при общем числе вариантов перестановок элементов вектора 211, является делом исключительно редкого, как видно, случая, который пришелся на долю студента, поэтому эта матрица названа J-matrix (Juras-matrix, от Юра).

При ее исследовании выявлены еще пара матриц, тяготеющих к структуре матриц Адамара и Белевича, но m-норма их больше. Матрица двадцать второго порядка, построенная на основе M11 более груба по норме, однако они общи структуре – шесть полочек – полочки оптимальной матрицы вдвое короче (эмиссия вверх).

17*f*f+e*e+d*d+c*c+b*b+a*a-1=0,
f*f-2*e*f+d*f-2*c*f+b*f+b*d+2*a*f=0, 3*f*f-2*e*f+d*f-c*f+c*d-2*b*f-2*a*f=0,
5*f*f-2*e*f-2*d*f-c*f-b*f+b*c-2*a*f=0, 5*f*f-e*f-2*d*f-2*c*f-2*b*f-a*f+a*e=0,
f-c-a=0
M=mmatrix(22);
S=simplify(equals(subs(muls(tr(M),M),eye(M)),zeros(M)));
puts(S);

function mmatrix(n) {
M=[['a','f','f','f','f','f','f','f','f','e','f','b','f','f','f','f','f','d','f','f','f','c'], ['f','a','-f','f','-f','-f','f','-c','f','-f','f','f','d','-f','-f','f','f','b','-e','f','-f','-f'], ['f','-f','a','-f','-f','-f','-f','f','f','f','-f','f','c','b','e','f','f','-f','f','-f','-f','-d'], ['f','f','-f','a','-f','f','b','-f','-f','f','-f','f','f','-d','f','e','-f','-c','-f','-f','f','f'], ['f','-f','-f','-f','-a','-f','f','f','-f','-c','b','-f','f','f','d','-f','f','-f','-f','f','f','e'], ['f','-f','e','f','-f','a','d','f','f','f','-f','-c','-f','-f','-f','-f','f','f','-f','-f','b','f'], ['f','f','-f','b','f','d','-a','f','f','f','c','-f','f','f','-f','-f','-f','-f','-f','-e','-f','-f'], ['f','-c','f','-f','f','f','f','-a','f','-f','-f','f','-f','e','-b','d','-f','-f','-f','f','-f','f'], ['f','f','f','-f','-f','f','f','-e','-a','f','d','-f','-f','-f','f','-f','b','-f','c','f','-f','-f'], ['f','f','-f','-f','c','e','-f','f','-f','-a','-f','f','b','-f','-f','-f','f','f','f','d','-f','f'], ['e','-f','f','f','-b','f','-c','f','-d','-f','-a','-f','f','-f','-f','f','-f','-f','f','f','f','-f'], ['b','f','f','f','e','-c','-f','f','-f','-f','f','-a','-f','-f','f','f','d','-f','-f','-f','-f','f'], ['f','d','c','f','f','-f','f','-f','-f','-b','-f','e','-a','f','-f','-f','f','-f','f','-f','f','-f'], ['f','-f','b','-d','f','-f','f','-f','-f','f','f','-f','f','-a','-f','f','-c','f','f','-f','-e','f'], ['f','-f','-f','f','d','-f','-f','-b','f','f','f','f','-f','-f','a','-f','-e','-f','f','f','c','f'], ['f','f','f','-f','-f','-f','-f','d','-f','f','e','f','-f','f','-f','a','-f','f','-f','c','f','-b'], ['f','-e','f','-f','f','f','-f','-f','b','-f','f','d','f','-c','f','-f','a','f','-f','-f','f','-f'], ['d','b','-f','-c','-f','f','-f','-f','e','-f','f','-f','-f','f','-f','f','f','-a','f','-f','f','f'], ['f','f','f','e','-f','-f','-f','-f','c','-f','-f','-f','f','f','f','-f','-f','f','a','b','-d','f'], ['f','f','-f','-f','f','-f','f','f','f','-d','-f','-f','-f','-f','f','c','-f','e','b','-a','f','-f'], ['f','-f','-f','f','f','b','-f','-f','-f','f','-f','-f','-e','f','c','f','f','f','-d','f','-a','-f'], ['c','-f','-d','f','-f','f','e','f','-f','-f','f','f','-f','f','f','-b','-f','f','f','-f','-f','-a']];
return M;
}

Аналитические уравнения показывают, что при стремлении коэффициента нижнего уровня к 0, остальные уровни стремятся к насыщению, возникает структура Белевича. Которая не находима, поскольку система уравнений на этот крайний случай теряет совместность.

Эти обстоятельства позволяют предположить, что перед нами альтернативная матрица (J-matrix), она замещает C-матрицу в точке n=22. Вопрос о возможности такого замещения на следующем, 34-м порядке, спорен.

// МАТРИЦА, НАЙДЕННАЯ С РЕВЕРСНЫМ СОХРАНЕНИЕМ ПОЗИЦИЙ СТРОК
a=1.000000; b=0.980229; c=0.784558; d=0.692429; e=0.529911; f=0.307553;
A=[[-f,a,d,-a,-a,a,-a,-a,a,-a,c,a,a,a,-a,-a,b,a,-a,-e,-a,-a],[a,a,e,a,b,-c,-a,a,-a,-a,-a,-a,a,a,-a,-a,-a,-d,f,a,-a,-a],[a,f,a,a,c,b,a,-a,a,-a,a,-a,-e,-a,a,d,-a,-a,-a,-a,-a,-a],[-e,-a,a,-a,-a,a,-a,a,-a,-b,-a,a,c,-a,d,a,-a,-a,-a,f,a,-a],[-d,-a,-f,a,-a,a,-a,a,a,a,a,-c,-a,b,-a,-a,-a,-a,e,-a,a,-a],[-a,a,-c,a,a,a,-b,a,e,a,-a,f,a,-a,a,-a,a,-a,-a,-a,-d,a],[a,-a,a,a,-a,-a,a,a,a,a,-b,a,a,-a,-a,e,c,f,d,-a,-a,-a],[a,a,-a,a,-a,-a,-a,-a,a,d,-a,a,-a,a,b,a,f,-c,-a,a,e,-a],[a,-d,-a,a,-a,a,a,-c,-a,-a,-a,-a,a,a,-a,f,a,-e,-a,-a,a,b],[a,a,a,c,-a,a,-a,a,-a,a,a,-d,-a,-a,-a,a,e,a,-a,b,-f,a],[a,-e,a,-b,a,a,a,a,d,a,-a,-a,-f,a,a,-a,a,a,-a,c,a,-a],[-a,-a,-a,a,a,-a,-d,f,a,-a,a,-a,a,-a,-e,c,a,a,-a,a,b,-a],[a,-a,-a,-d,-a,f,-e,-a,-b,a,a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,c,a,-a,-a],[a,a,-a,a,-a,a,a,a,c,-a,d,a,a,-e,a,-a,-a,a,b,a,a,f],[-a,a,-a,-a,-d,a,a,a,a,-a,-a,-a,-a,-f,-c,a,a,-b,a,a,-a,-e],[-a,-a,b,a,-e,a,-c,-a,a,f,-a,-a,a,a,a,a,-d,a,a,a,-a,a],[c,-b,-a,e,a,a,-a,a,-a,-a,f,a,-a,a,a,a,a,a,a,-a,-a,-d],[a,a,-a,-a,a,a,-a,-b,f,a,-a,-e,d,-a,-a,a,-a,a,a,-a,a,-c],[-a,a,-a,-f,-a,-d,a,a,-a,a,e,-a,a,a,a,b,-a,a,-a,-a,-c,-a],[a,-a,-a,-a,a,e,f,d,a,c,a,a,b,a,-a,a,-a,-a,-a,a,-a,a],[b,c,a,-a,-f,-a,-a,a,a,-e,a,-a,a,d,a,a,a,-a,a,-a,a,a],[-a,a,a,a,a,a,a,-e,-a,a,a,b,a,c,-f,a,a,-a,a,d,a,-a]];
A=numbers(A);
iv=[0,3,5,7,8,11,13,14,16,19,20,21,18,17,15,12,10,9,6,4,2,1]; // inversed
M=sort(A,iv); mesh(M); putm(M);

ЛИТЕРАТУРА ПО КВАЗИОРТОГОНАЛЬНЫМ МАТРИЦАМ
МАТРИЦЫ: АДАМАРА | МЕРСЕННА | ЭЙЛЕРА | БЕЛЕВИЧА | ФЕРМА | ВЕБИНАР
МАРЕН МЕРСЕНН [2] | ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ [2] | МАТРИЦЫ БЕЛЕВИЧА
ЧИСЛА ФЕРМА | ЗАГАДКИ ЧИСЕЛ ФЕРМА | ЭНЦИКЛОПЕДИЯ
ПУБЛИКАЦИИ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ МАТРИЦАМ

1. Балонин Н.А., Сергеев М.Б., Мироновский Л.А. Вычисление матриц Адамара-Мерсенна // Информационно-управляющие системы. 2012. № 5. С. 92-94.

2. Балонин Н.А., Сергеев М.Б., Мироновский Л.А. Вычисление матриц Адамара-Ферма // Информационно-управляющие системы. 2012. № 6. С. 90-93.

4. Балонин Н.А., Сергеев М.Б. О двух способах построения матриц Адамара-Эйлера // Информационно-управляющие системы. 2013. № 1. С. 7 – 10.

5. Балонин Ю.Н., Сергеев М.Б. М-матрица 22-го порядка // Информационно-управляющие системы. 2011. № 5. С. 87–90.

6. Балонин Н.А., Сергеев М.Б. М-матрицы // Информационно-управляющие системы. 2011. № 1. С. 14-21.

7. Балонин Н.А., Мироновский Л.А. Матрицы Адамара нечетного порядка // Информационно-управляющие системы. 2006, N3. C. 46-50.

8. Балонин Ю.Н., Востриков А.А., Сергеев М.Б. О прикладных аспектах применения М-матриц // Информационно-управляющие системы. 2012. № 1(56). С. 92 – 93.

9. Балонин Н.А. О существовании матриц Мерсенна 11-го и 19-го порядков // Информационно-управляющие системы. 2013. № 2. С. 90 – 91.

ПРЕДЫСТОРИЯ

Платоновы тела

Теорема Ферма-Эйлера

Карацуба А.А. Доклад на конференции, посвященной 300-летию со дня рождения Л. Эйлера (Математический институт им. В. А. Стеклова, 17 мая 2007 г.)

Внимание Эйлера к теории чисел привлек Гольдбах (письмо Гольдбаха к Эйлеру от 1 декабря 1729 г.), и первой работой была работа о теореме Ферма, касающаяся представимости простых чисел суммою двух квадратов целых чисел. Несмотря на разницу в возрасте в 17 лет, Гольдбах и Эйлер дружили, вели активную переписку, где ставились и решались проблемы теории чисел, вплоть до кончины Гольдбаха в 1764 г.

Сендеров В, Спивак А. Целые числа Гаусса

Собрание ссылок на обзоры и прочие источники по матрицам Адамара, Белевича (C-матрицам) и сопредельным вопросам (старый блог).

МАТРИЦЫ АДАМАРА: WIKI | Eric Tressler | П. Камерун | Стинсон | Холл, Комбинаторика, 1970 | Jacobus Hendricus van Lint, Richard Michael Wilson. A course in combinatorics | Муд | Симплексы и кубы [2]
МАТРИЦЫ АДАМАРА-ВИЛЬЯМСОНА: СТАТЬЯ 1965 | СТАТЬЯ 1981 | СТАТЬЯ 2002

КНИЖЕЧКА 2007 г. КАТИ ХОРАДАМ | РИСУНКИ АЛАНА ВЕНТИНКА | LAP-книга

САЙТ: ПЕТЕР КАМЕРУН | Combinatorial design theory ХАДИ, МАТРИЦА 428 | 1852

МОНИТОРИНГ: Калькулятор | Перечень (N. J. A. Sloane) new | Библиотека | Еще.

Матричная алхимия: мир фракталов | вакуумное условие


 

С-МАТРИЦЫ: WIKI | from WOLFRAM | П. Камерун [2] | аннотация | блог | симметричные

МОНИТОРИНГ: Список C-матриц | С-матрицы | Коды

Порядки C26, C66 подозрительны на множественность решения, в таблице НЕТ C66?

Имеем 25=0×0+5×5=3×3+4×4, 65=1×1+8×8=4×4+7×7 и 65=5×13, а неразрешены 4k+3 = 3, 7, 11, ..
conference matrices do not exist for orders n = 22, 34, 58, 70, 78, 94 …

Known
n=4 6 8 10 12 14 16 18 (1 Matrix)
n=20 (2) 24 (9) 26 (4) 28 (41) 30 (6)
n=32 36 38 40 42 44 46 48 50 (1 Matrix)
n=52 (9)
n=54 56 (1 Matrix)
n=60 (2 Matrices)
n=62 64 [66?] 68 72 74 76 80 82 84 [86?] 88 90 92 96 98 100 (1 Matrix)

Порядки 46, 66, 86 для графов ПРОБЛЕМНЫЕ, Белевич 46 нашел Рудольф МАТОН, есть статья по обобщению Себбери и Вайтмана.

Минимальный порядок, для которого неизвестно, существует ли матрица Белевича. Прежде всего, рна не может быть построена на базе пары циклических матриц (Handbook of Combinatorial Designs, Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz).

WEIGHING MATRICES: W(n,m) WIKI | Jennifer | классификация | Марчел Голей

R. Craigen, Weighing matrices and conference matrices | оптимальные

НЕПЛОХОЙ ЛИСТ ССЫЛОК

van Lint and Seidel (1966): van Lint, J.H., and Seidel, J.J. (1966), Equilateral point sets in elliptic geometry. Indagationes Mathematicae, vol. 28, pp. 335-348.

Вот еще одна (!): n–1 всегда будет суммой квадратов целых чисел, если n–2 является степенью простого числа.

Первые несколько возможных порядков симметричных конференс-матриц n = 2, 6, 10, 14, 18, (не 22, так как 21 не является суммой двух квадратов), 26, 30, (не 34, так как 33 не является суммой двух квадратов), 38, 42, 46 [? проблемна по Зейделю, для Пэли и графов], 50, 54, (не 58), 62 (последовательность A000952 в OEIS); для всех приведённых значений известно, что симметричные конференс-матрицы существуют. Для n = 66 вопрос остаётся открытым.

В виде суммы трех квадратов представимы все числа, кроме 4^k(8n+7) (k,n – целые неотрицательные, Карацуба А.А., стр. 22). В виде суммы четырех квадратов – количество делителей, не кратных 4. (В зависимости от того, считать ли перестановки слагаемых за разные представления, появляются множители).

ДОКЛАД КАМЕРОНА

MAX DET: ОБЗОР [2] | INDIANA | УОРИК [2] [3] [4] | CRC | WIKI | W | Achim Flammenkamp

МАХ DET 86

The largest possible determinants (Hadamard’s maximum determinant problem) for n=1, 2, … are

1, 1, 2, 3, 5, 9, 32, 56, 144, 320, 1458, 3645, 9477, … (Sloane’s A003432)… {1,0}-matrix

1, 2, 4, 16, 48, 160, … (Sloane’s A003433; Ehlich and Zeller 1962, Ehlich 1964).. {-1,1}-matrix

The numbers of distinct binary matrices having the largest possible determinant {1,0} are 1, 3, 3, 60, 3600, 529200, 75600, 195955200, 13716864000, … (Sloane’s A051752). The numbers of distinct {1,-1}-matrices having the largest possible determinant are 1, 4, 96, 384, 30720, … (Sloane’s A188895) Wolframs

Матрица R’R=(n–1)I+O Д. Раджавара (Бомбей), 2n–1=квадрат n=5, 13, 25, 41, 61 (!)

D. Raghavarao, Some optimum weighing designs, Ann. Math. Statist. 30 (1959) 295-303.

Норму матриц и свойства описал Гвидо Барба, см. также циркулянтные матрицы

Barba, Guido (1933), “Intorno al teorema di Hadamard sui determinanti a valore massimo”, Giorn. Mat. Battaglini 71: 70–86.

И был такой мужичок Баркер. Код Баркера, это попытка сгенерить Белый шум, но в очень ограниченном векторе из 1 и -1. Баркер наткнулся на ограничение 13 (Storer J.E., Turyn R.).

Barker, R. H. (1953). “Group Synchronizing of Binary Digital Sequences”. Communication Theory. London: Butterworth. pp. 273–287.

Barker R.H. Group synchronization of binary digital systems, in Jackson. W. (ed.) // Communication Theory. — Academic Press, London, 1953, pp. 273-287.

Storer J.E., Turyn R. Optimum finite code groups // roceedings IRE (Correspondence), 1958, V. 46, pp. 1649.

ОБЗОР

МАТРИЦЫ АДАМАРА

МОНИТОРИНГ: Калькулятор | Перечень (N. J. A. Sloane) new | Библиотека

1. Sylvester, J.J. Thoughts on inverse orthogonal matrices, simultaneous sign successions, and tessellated pavements in two or more colours, with applications to Newton’s rule, ornamental tile-work, and the theory of numbers. Philosophical Magazine, 34: 1867, P. 461–475.

J. J. Sylvester, “Thoughts on Orthogonal Matrices, Simultaneous Sign-Successions, and Tessellated Pavements in Two or More Colours, with Applications to Newton’s Rule, Ornamental Tile-Work, and the Theory of Numbers.” Phil. Mag. 34, pp. 461-475, 1867.

2. Hadamard, J. R?solution d’une question relative aux d?terminants. Bulletin des Sciences Math?matiques 17: 1893, P. 240–246.


Порядки n=12, 20: (Shalom Eliahou, La conjecture de Hadamard (I) (II)) | слайды

Сайт?: Shalom Eliahou, La conjecture de Hadamard (I) — Images des Math?matiques, CNRS, 2012.

3. U. Scarpis, Sui determinanti di valore massimo, Rendiconti della R. Istituto Lombardo di Scienze e Lettere 31 (1898) 1441–1446.

4. Paley, R.E.A.C. (1933). “On orthogonal matrices”. Journal of Mathematics and Physics 12: 311–320.

Raymond E.A.C. Paley, “On Orthogonal Matrices.” Journal of Mathematics and Physics, vol. 12, pp. 311-320, 1933.

5. J. Williamson, “Hadamard’s Determinant Theorem and the Sum of Four Squares.” Duke Math. J., vol. 11, pp. 65-81, 1944.

6. Belevitch, V. Theorem of 2n-terminal networks with application to conference telephony. Electr. Commun., vol. 26 1950. pp. 231–244.

7. L. D. Baumert, S. W. Golomb, M. Hall Jr., “Discovery of an Hadamard Matrix of Order 92.” Bull. Amer. Math. Soc., vol. 68, pp. 237-238, 1962.

L. D. Baumert; S. W. Golomb, M. Hall Jr (1962). “Discovery of an Hadamard matrix of order 92″. Bull. Amer. Math. Soc. 68 (3): 237–238. doi:10.1090/S0002-9904-1962-10761-7.

Опубликованы у Эрика Тесслера

8. L. D. Baumert, “Hadamard Matrices of Orders 116 and 232.” Bull. Amer. Math. Soc., vol. 72, pp. 237, 1966.

9. K. Sawade, A Hadamard matrix of order 268, Graphs Combin. 1 (1985), no. 2, 185–187.

10. H. Kharaghani and B. Tayfeh-Rezaie, A Hadamard matrix of order 428, Journal of Combinatorial Designs 13 (2005), 435–440.

11. F.J. MacWilliams; N.J.A. Sloane (1977). The Theory of Error-Correcting Codes. North-Holland. pp. 47, 56. ISBN 0-444-85193-3.

12. Neil Sloane, A library of Hadamard matrices old | new

13. WIKI

* * *

1. M. Hall, Jr., Note on the Mathieu group M12, Arch. Math. 13 (1962), 334–340.

2. J. Seberry and M. Yamada, Hadamard matrices, sequences and block designs, pp. 431–560 in Contemporary Design Theory: A Collection of Surveys (ed. J. H. Dinitz and D. R. Stinson), Wiley, New York, 1992.

3. Institute for Studies in Theoretical Physics and Mathematics, IPM, Iran;

http://math.ipm.ac.ir.


 

ОБА ВИДА МАТРИЦ: Себбери | обзор | новация


 

КОМПЛЕКСНЫЕ: Классификация | Каталог | Ли (комплексные C-матрицы)


ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ: Мохан, ортогональность у матриц | ДКП 8×8 [техника]hl=ru | Симплексы и кубы [2]

Числа Мерсенна n=2^k–1: Числа Мерсенна | 2 | 3 | Числа Прота

Umberto SCARPIS (Padova 1861- Bologna 1921)

 

Умберто связал числа Мерсенна с матрицами Адамара, нашел H12, H56

Scarpis’s paper followed Hadamard’s by five years. Hadamard in turn had been preceded by Sylvester. Scarpis may have been motivated by an examination of the structure of Hadamard’s H12. As in Sylvester’s construction, Scarpis constructs a larger Hadamard matrix from a smaller Hadamard matrix.

Specifically, if an Hadamard matrix Hn can be found, where n–1 is prime, then an Hadamard matrix Hn(n–1) can be constructed. Paley later proved that for any n?0 (mod 4) with n–1 a prime (or more generally, a prime power (простая степень, в связи с Сильвестром)) an Hadamard matrix Hn can indeed be found.

In Paley’s famous paper on the construction of Hadamard matrices using quadratic residues in finite fields, he remarks (see Lemma 5) that an 1892-by-1892 Hadamard matrix can be constructed by applying Scarpis’s construction to the 44-by-44 Hadamard matrix obtained using Paley’s first construction, and that size 1892 (which is 44?43) cannot be obtained using the methods of Sylvester and Paley alone.

Порядки “Paley construction” n=p+1, p+1 if p is prime and p+1 is a multiple of 4. This is then expanded to order (p+1)*2k using the Sylvester construction (программуля).

Порядки: Сильвестер 2k, Пэли pk+1 и 2pk+2, p – простое. По Пэли недостижим порядок 1892 (достижим по Скарпи через матрицу H44) Порядки n=2k: см. спр. у Вольфрама

МАТРИЦЫ АДАМАРА

n=12:


a=1;
H=[[-a,-a,-a,-a,-a,-a,-a,-a,-a,-a,-a,-a],[-a,-a,-a,-a,-a,-a,a,a,a,a,a,a],[-a,-a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,a,a],[a,-a,-a,-a,a,a,-a,a,a,a,-a,-a],[a,-a,-a,a,-a,a,a,-a,a,-a,a,-a],[a,-a,-a,a,a,-a,a,a,-a,-a,-a,a],[-a,a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,-a,a],[-a,a,-a,a,-a,a,a,a,-a,a,-a,-a],[-a,a,-a,a,a,-a,-a,a,a,-a,a,-a],[-a,-a,a,-a,a,a,a,a,-a,-a,a,-a],[-a,-a,a,a,-a,a,-a,a,a,-a,-a,a],[-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,a,a,-a,-a]];
mesh(H);

n=20:


a=1;
H=[[-a,-a,-a,-a,-a,-a,-a,-a,-a,-a,-a,-a,-a,-a,-a,-a,-a,-a,-a,-a],[-a,-a,-a,-a,-a,-a,-a,-a,-a,-a,a,a,a,a,a,a,a,a,a,a],[-a,-a,-a,-a,-a,a,a,a,a,a,-a,-a,-a,-a,-a,a,a,a,a,a],[a,-a,-a,-a,-a,-a,a,a,a,a,-a,a,a,a,a,a,-a,-a,-a,-a],[a,a,-a,-a,-a,a,-a,-a,a,a,a,-a,-a,a,a,-a,a,a,-a,-a],[a,-a,a,-a,-a,a,-a,-a,a,a,a,a,a,-a,-a,-a,-a,-a,a,a],[a,-a,-a,a,-a,a,a,a,-a,-a,a,-a,-a,a,a,-a,-a,-a,a,a],[a,-a,-a,-a,a,a,a,a,-a,-a,a,a,a,-a,-a,-a,a,a,-a,-a],[-a,-a,-a,a,a,-a,-a,a,a,a,a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,a,-a],[-a,-a,-a,a,a,-a,a,-a,a,a,a,a,-a,a,-a,-a,-a,a,-a,a],[-a,a,a,-a,-a,-a,a,a,-a,a,a,-a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,a],[-a,a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,a,-a,a,-a,-a,a,-a,a,-a],[-a,-a,a,-a,a,a,a,-a,a,-a,-a,-a,a,a,a,-a,a,-a,-a,a],[-a,-a,a,-a,a,a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,a,a,-a,-a,a,a,-a],[-a,a,-a,a,-a,a,a,-a,a,-a,-a,a,a,-a,a,-a,-a,a,a,-a],[-a,a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,a,-a,a,a,a,-a,-a,a,-a,-a,a],[-a,-a,a,a,-a,a,a,-a,-a,a,a,a,-a,-a,a,a,a,-a,-a,-a],[-a,-a,a,a,-a,a,-a,a,a,-a,a,-a,a,a,-a,a,-a,a,-a,-a],[-a,a,-a,-a,a,a,a,-a,-a,a,a,-a,a,a,-a,a,-a,-a,a,-a],[-a,a,-a,-a,a,a,-a,a,a,-a,a,a,-a,-a,a,a,-a,-a,-a,a]];
mesh(H);

МОДИФИЦИРОВАННЫЙ АЛГОРИТМ СКАРПИ

n=7; M=mersenne(n); // 3, 7, [15], 31, [63]
// ALTERNATIVE MERSENNE MATRICES
// M=M7(); M=M11(); M=M19(); M=M23();
// ВЫБЕЛИВАНИЕ И РАСЧЕТ МАТРИЦЫ СКАРПИ
a=1; b=1; M=numbers(M); H=scarpis(M); {{I=H’*H}}
// ВЫВОД
mesh(H);
// ПРОВЕРКА
puts(I);

function scarpis(M){
var i,j,k,l,n,ni,nj,nk,nl,kl,nnk,nnl,nik,nil,ikl,z,mkl,mlk;
n=rows(M); M=sign(M); H=ones(n*n+n);
for(k=0;k<n;k++) { nk=n*k+k;
for(l=0;l<n;l++) { nl=n*l+l; kl=k*l;
H[nk][nl]=-1; mkl=M[k][l]; mlk=M[l][k];
for(i=0;i<n;i++) { nik=nk+i+1; nil=nl+i+1; ikl=(i+kl)%n;
H[nl][nik]=mlk; H[nik][nl]=mkl;
for(j=0;j<n;j++) H[nil][nk+j+1]=M[ikl][j];
}}}
return H;
}

function scarpisu(M){
var i,j,k,l,n,ni,nj,nk,nl,kl,nnk,nik,nil,ikl,z,mkl,mlk;
n=rows(M); M=sign(M); H=ones(n*n+n);
for(k=0;k<n;k++) { nk=n*k; nnk=n+nk; z=-M[0][k];
for(l=0;l<n;l++) { nl=n*l; kl=k*l; mkl=M[k][l]; mlk=-M[l][k];
for(i=0;i<n;i++) { ni=n+i; nik=ni+nk; nil=ni+nl; ikl=(i+kl)%n;
if (l>0) H[l][nik]=mlk; H[nik][l]=mkl;
for(j=0;j<n;j++) H[nil][nnk+j]=z*M[ikl][j]; }}}
return H;
}

function scarpisorig(M){
var i,j,k,l,n,ni,nj,ix,z; n=rows(M); z=1;
H=ones(n*n+n); M=sign(M); ix=zero(n); k=-1; l=-1;
for(i=0;i<n;i++) if(i%2==0){
k++; while(M[0][k]<0) {k++; if(k>=n) return;} ix[i]=k;}else{
l++; while(M[0][l]>0) {l++; if(l>=n) return;} ix[i]=l;}
M2=sort(M,ix);
for(k=0;k<n;k++) { z=-z;
for(i=n;i<2*n;i++) { ni=i+k*n; for(j=0;j<n;j++) {
if (j>0) H[j][ni]=-M2[j][k]; H[ni][j]=M2[k][j]; }}
for(i=0;i<n;i++) { ni=n+i;
for(j=0;j<n;j++) { nj=n+j;
for(l=0;l<n;l++) H[ni+l*n][nj+k*n]=z*M[(i+l*k)%n][j]; }}}
return H;
}

function mersenne(n) {
var i,j,i1,j1,ki1,kj1,k,m,S,M,a,mb,s;
a=’a’; mb=’-b’; M=a; k=3; m=k;
while (m<=n) { if (m==3) {
M=[[a,mb,a],[mb,a,a],[a,a,mb]]; }else{
S=M; M=matrix(m,m); M[0][0]=a;
for (i=0;i<k;i++) for (j=0;j<=i;j++) { s=S[i][j];
i1=i+1; j1=j+1; ki1=k+i1; kj1=k+j1;
M[i1][j1]=s; M[i1][kj1]=s; M[j1][ki1]=s;
M[j1][i1]=s; M[kj1][i1]=s; M[ki1][j1]=s;
if (s==a) { s=mb; }else{ s=a; }
M[ki1][kj1]=s; M[kj1][ki1]=s;
if (j==0) {
M[j][i1]=mb; M[j][ki1]=a;
M[i1][j]=mb; M[ki1][j]=a;
}}}
k=m; m=2*k+1;
}
return M;
}

function mersenneb(n) {
var b=1; if (n==3) { b=b/2; }else{
var q=n+1; b=(q-sqrt(4*q))/(q-4); }; return b;
}

function M7() { // ОТЛАДОЧНАЯ
M=[[1,-1,1,-1,1,-1,1],[-1,1,1,-1,-1,1,1],[1,1,-1,-1,1,1,-1],[-1,-1,-1,1,1,1,1],[1,-1,1,1,-1,1,-1],[-1,1,1,1,1,-1,-1],[1,1,-1,1,-1,-1,1]];
return M;
}

function M11() { a=1; b=0.633973;
M=[[a,-b,-b,-b,-b,-b,a,a,a,a,a],[-b,a,-b,-b,a,a,a,a,-b,a,-b],[-b,-b,a,a,a,-b,a,a,-b,-b,a],[-b,-b,a,-b,a,a,-b,-b,a,a,a],[-b,a,a,a,-b,-b,a,-b,a,a,-b],[-b,a,-b,a,-b,a,-b,a,a,-b,a],[a,a,a,-b,a,-b,-b,a,a,-b,-b],[a,a,a,-b,-b,a,a,-b,-b,-b,a],[a,-b,-b,a,a,a,a,-b,a,-b,-b],[a,a,-b,a,a,-b,-b,-b,-b,a,a],[a,-b,a,a,-b,a,-b,a,-b,a,-b]];
return M;
}

function M19() { a=1; b=0.690974;
M=A=[[a,-b,-b,-b,-b,-b,-b,-b,-b,-b,a,a,a,a,a,a,a,a,a],[-b,a,-b,-b,-b,a,a,a,-b,a,a,-b,a,a,a,-b,-b,-b,a],[-b,-b,a,-b,a,-b,a,a,-b,a,a,a,a,-b,-b,a,a,-b,-b],[-b,-b,-b,a,-b,a,a,-b,a,a,-b,-b,a,a,-b,a,a,a,-b],[-b,-b,a,-b,a,a,a,-b,a,-b,-b,a,-b,a,a,-b,a,-b,a],[-b,a,-b,a,a,a,-b,a,-b,-b,-b,a,a,-b,a,-b,a,a,-b],[-b,a,a,a,a,-b,a,-b,-b,-b,a,-b,-b,a,a,a,-b,a,-b],[-b,a,a,-b,-b,a,-b,a,a,-b,a,-b,-b,-b,-b,a,a,a,a],[-b,-b,-b,a,a,-b,-b,a,a,a,a,a,-b,a,-b,-b,-b,a,a],[-b,a,a,a,-b,-b,-b,-b,a,a,-b,a,a,-b,a,a,-b,-b,a],[a,a,a,-b,-b,-b,a,a,a,-b,-b,a,a,a,-b,-b,-b,a,-b],[a,-b,a,-b,a,a,-b,-b,a,a,a,-b,a,-b,a,-b,-b,a,-b],[a,a,a,a,-b,a,-b,-b,-b,a,a,a,-b,a,-b,-b,a,-b,-b],[a,a,-b,a,a,-b,a,-b,a,-b,a,-b,a,-b,-b,-b,a,-b,a],[a,a,-b,-b,a,a,a,-b,-b,a,-b,a,-b,-b,-b,a,-b,a,a],[a,-b,a,a,-b,-b,a,a,-b,a,-b,-b,-b,-b,a,-b,a,a,a],[a,-b,a,a,a,a,-b,a,-b,-b,-b,-b,a,a,-b,a,-b,-b,a],[a,-b,-b,a,-b,a,a,a,a,-b,a,a,-b,-b,a,a,-b,-b,-b],[a,a,-b,-b,a,-b,-b,a,a,a,-b,-b,-b,a,a,a,a,-b,-b]];
return M;
}

function M23() { a=1; b=0.710099;
M=[[a,-b,-b,-b,-b,-b,-b,-b,-b,-b,-b,-b,a,a,a,a,a,a,a,a,a,a,a],[-b,a,-b,-b,-b,-b,-b,a,a,a,a,a,a,-b,-b,-b,-b,-b,a,a,a,a,a],[-b,-b,a,-b,-b,a,a,a,a,-b,a,-b,-b,a,-b,-b,a,a,a,a,-b,a,-b],[-b,-b,-b,a,a,a,-b,a,a,-b,-b,a,-b,-b,a,a,a,-b,a,a,-b,-b,a],[-b,-b,-b,a,-b,a,a,-b,-b,a,a,a,-b,-b,a,-b,a,a,-b,-b,a,a,a],[-b,-b,a,a,a,-b,-b,a,-b,a,a,-b,-b,a,a,a,-b,-b,a,-b,a,a,-b],[-b,-b,a,-b,a,-b,a,-b,a,a,-b,a,-b,a,-b,a,-b,a,-b,a,a,-b,a],[-b,a,a,a,-b,a,-b,-b,a,a,-b,-b,a,a,a,-b,a,-b,-b,a,a,-b,-b],[-b,a,a,a,-b,-b,a,a,-b,-b,-b,a,a,a,a,-b,-b,a,a,-b,-b,-b,a],[-b,a,-b,-b,a,a,a,a,-b,a,-b,-b,a,-b,-b,a,a,a,a,-b,a,-b,-b],[-b,a,a,-b,a,a,-b,-b,-b,-b,a,a,a,a,-b,a,a,-b,-b,-b,-b,a,a],[-b,a,-b,a,a,-b,a,-b,a,-b,a,-b,a,-b,a,a,-b,a,-b,a,-b,a,-b],[a,a,-b,-b,-b,-b,-b,a,a,a,a,a,-b,a,a,a,a,a,-b,-b,-b,-b,-b],[a,-b,a,-b,-b,a,a,a,a,-b,a,-b,a,-b,a,a,-b,-b,-b,-b,a,-b,a],[a,-b,-b,a,a,a,-b,a,a,-b,-b,a,a,a,-b,-b,-b,a,-b,-b,a,a,-b],[a,-b,-b,a,-b,a,a,-b,-b,a,a,a,a,a,-b,a,-b,-b,a,a,-b,-b,-b],[a,-b,a,a,a,-b,-b,a,-b,a,a,-b,a,-b,-b,-b,a,a,-b,a,-b,-b,a],[a,-b,a,-b,a,-b,a,-b,a,a,-b,a,a,-b,a,-b,a,-b,a,-b,-b,a,-b],[a,a,a,a,-b,a,-b,-b,a,a,-b,-b,-b,-b,-b,a,-b,a,a,-b,-b,a,a],[a,a,a,a,-b,-b,a,a,-b,-b,-b,a,-b,-b,-b,a,a,-b,-b,a,a,a,-b],[a,a,-b,-b,a,a,a,a,-b,a,-b,-b,-b,a,a,-b,-b,-b,-b,a,-b,a,a],[a,a,a,-b,a,a,-b,-b,-b,-b,a,a,-b,-b,a,-b,-b,a,a,a,a,-b,-b],[a,a,-b,a,a,-b,a,-b,a,-b,a,-b,-b,a,-b,-b,a,-b,a,-b,a,-b,a]];
return M;
}

Алгоритм Скарпи: матрица Адамара нормализуется, вторая строка берется знакочередующейся 1, –1, 1, –1, …., в равной мере можно говорить о знакочередующейся первой строке матрицы Мерсенна размера n: –1, 1, –1, ….



1. Начальный квадратный блок размера n образован матрицей с единичными элементами a=1. От него вправо идут блоки, образованные дублированием n раз каждой из колонок матрицы Мерсенна, верхняя строчка которых замещается элементами a=1.



От начального блока вниз идут блоки, образованные дублированием n раз каждой из строк матрицы Мерсенна, с инверсией знака их элементов. Правее размещается колонка блоков из M.

2. Вправо от блока из первой строки идут матрицы M, –М, M, (и т.п….) так что



3. Вправо от блока из второй (i=2) строки идет матрица M. Далее блок –М с циклически сдвинутыми наверх строками так, чтобы он начинается со строки i=2. Далее блок М с циклически сдвинутыми наверх строками так, чтобы он начинается со строки 2(i-1)+1=3. Далее у матриц более большой размерности идет блок –М с циклически сдвинутыми наверх строками так, чтобы он начинается со строки 3(i-1)+1=4, и т.п.



4. Вправо от блока из третьей (i=3) строки идет матрица M. Далее блок –М с циклически сдвинутыми наверх строками так, чтобы он начинается со строки i=3. Далее блок М с циклически сдвинутыми наверх строками так, чтобы он начинается со строки 1+{2(i-1)+1 mod n}=3. Далее у матриц более большой размерности идет блок –М с циклически сдвинутыми наверх строками так, чтобы он начинается со строки 1+{3(i-1)+1 mod n}, и т.п.



В итоге имеем












H=[[1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1],[1,1,1,1,1,1,-1,-1,-1,-1,-1,-1],[1,1,1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,1,1,1],[1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-1],[1,-1,1,1,-1,-1,-1,1,1,1,-1,-1],[1,-1,1,-1,-1,1,1,1,-1,-1,-1,1],[-1,1,1,-1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,1],[-1,1,1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,1,-1],[-1,1,1,-1,-1,1,1,-1,1,1,-1,-1],[1,1,-1,-1,1,-1,1,1,-1,1,-1,-1],[1,1,-1,1,-1,-1,1,-1,1,-1,-1,1],[1,1,-1,-1,-1,1,-1,1,1,-1,1,-1]];
mesh(H); {{I=H’*H}} putm(I);
{{html}}

 

Will Orrick Blog | I.J. Schoenberg

Ray Edwin GILMAN (1887-1975)

Теорема Гилмана, 1930. Пусть n делится на 4, при n–1 простом, тогда матрица Адамара существует.

Теорема Пэли, 1933. Пусть n делится на 4, при n–1 или n/2–1 “une puissance de nombre premier” (a prime power), тогда матрица Адамара существует..


n=7; M=mersenne(n); // 3, 7, [15], 31, [63]
// ALTERNATIVE MERSENNE MATRICES
// M=M7(); M=M11(); M=M19(); M=M23();
// ВЫБЕЛИВАНИЕ И РАСЧЕТ МАТРИЦЫ СКАРПИ
a=1; b=1; M=numbers(M); M=scarpis(M); {{I=M’*M}}
// ВЫВОД
mesh(M);
// ПРОВЕРКА
puts(I);

function scarpis(M){
var i,j,k,l,n,ni,nj,ix,z; n=rows(M); z=1;
H=ones(n*n+n); M=sign(M); ix=zero(n); k=-1; l=-1;
for(i=0;i<n;i++) if(i%2==0){
k++; while(M[0][k]<0) {k++; if(k>=n) return;} ix[i]=k;}else{
l++; while(M[0][l]>0) {l++; if(l>=n) return;} ix[i]=l;}
M=sort(M,ix); // {{M=M’}} M=sort(M,ix); {{M=M’}}
for(k=0;k<n;k++) { z=-z;
for(i=n;i<2*n;i++) { ni=i+k*n; for(j=0;j<n;j++) {
if (j>0) H[j][ni]=-M[j][k]; H[ni][j]=M[k][j]; }}
for(i=0;i<n;i++) { ni=n+i;
for(j=0;j<n;j++) { nj=n+j;
for(l=0;l<n;l++) H[ni+l*n][nj+k*n]=z*M[(i+l*k)%n][j]; }}}
ix=[]; k=0; for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n+1;j++)ix[k++]=i+j*n;
H=sort(H,ix); {{H=H’}} H=sort(H,ix); {{H=H’}}
return H;
}

function mersenne(n) {
var i,j,i1,j1,ki1,kj1,k,m,S,M,a,mb,s;
a=’a’; mb=’-b’; M=a; k=3; m=k;
while (m<=n) { if (m==3) {
M=[[a,mb,a],[mb,a,a],[a,a,mb]]; }else{
S=M; M=matrix(m,m); M[0][0]=a;
for (i=0;i<k;i++) for (j=0;j<=i;j++) { s=S[i][j];
i1=i+1; j1=j+1; ki1=k+i1; kj1=k+j1;
M[i1][j1]=s; M[i1][kj1]=s; M[j1][ki1]=s;
M[j1][i1]=s; M[kj1][i1]=s; M[ki1][j1]=s;
if (s==a) { s=mb; }else{ s=a; }
M[ki1][kj1]=s; M[kj1][ki1]=s;
if (j==0) {
M[j][i1]=mb; M[j][ki1]=a;
M[i1][j]=mb; M[ki1][j]=a;
}}}
k=m; m=2*k+1;
}
return M;
}

function mersenneb(n) {
var b=1; if (n==3) { b=b/2; }else{
var q=n+1; b=(q-sqrt(4*q))/(q-4); }; return b;
}

function M7() { // ОТЛАДОЧНАЯ
M=[[1,-1,1,-1,1,-1,1],[-1,1,1,-1,-1,1,1],[1,1,-1,-1,1,1,-1],[-1,-1,-1,1,1,1,1],[1,-1,1,1,-1,1,-1],[-1,1,1,1,1,-1,-1],[1,1,-1,1,-1,-1,1]];
return M;
}

function M11() { a=1; b=0.633973;
M=[[a,-b,-b,-b,-b,-b,a,a,a,a,a],[-b,a,-b,-b,a,a,a,a,-b,a,-b],[-b,-b,a,a,a,-b,a,a,-b,-b,a],[-b,-b,a,-b,a,a,-b,-b,a,a,a],[-b,a,a,a,-b,-b,a,-b,a,a,-b],[-b,a,-b,a,-b,a,-b,a,a,-b,a],[a,a,a,-b,a,-b,-b,a,a,-b,-b],[a,a,a,-b,-b,a,a,-b,-b,-b,a],[a,-b,-b,a,a,a,a,-b,a,-b,-b],[a,a,-b,a,a,-b,-b,-b,-b,a,a],[a,-b,a,a,-b,a,-b,a,-b,a,-b]];
return M;
}

function M19() { a=1; b=0.690974;
M=A=[[a,-b,-b,-b,-b,-b,-b,-b,-b,-b,a,a,a,a,a,a,a,a,a],[-b,a,-b,-b,-b,a,a,a,-b,a,a,-b,a,a,a,-b,-b,-b,a],[-b,-b,a,-b,a,-b,a,a,-b,a,a,a,a,-b,-b,a,a,-b,-b],[-b,-b,-b,a,-b,a,a,-b,a,a,-b,-b,a,a,-b,a,a,a,-b],[-b,-b,a,-b,a,a,a,-b,a,-b,-b,a,-b,a,a,-b,a,-b,a],[-b,a,-b,a,a,a,-b,a,-b,-b,-b,a,a,-b,a,-b,a,a,-b],[-b,a,a,a,a,-b,a,-b,-b,-b,a,-b,-b,a,a,a,-b,a,-b],[-b,a,a,-b,-b,a,-b,a,a,-b,a,-b,-b,-b,-b,a,a,a,a],[-b,-b,-b,a,a,-b,-b,a,a,a,a,a,-b,a,-b,-b,-b,a,a],[-b,a,a,a,-b,-b,-b,-b,a,a,-b,a,a,-b,a,a,-b,-b,a],[a,a,a,-b,-b,-b,a,a,a,-b,-b,a,a,a,-b,-b,-b,a,-b],[a,-b,a,-b,a,a,-b,-b,a,a,a,-b,a,-b,a,-b,-b,a,-b],[a,a,a,a,-b,a,-b,-b,-b,a,a,a,-b,a,-b,-b,a,-b,-b],[a,a,-b,a,a,-b,a,-b,a,-b,a,-b,a,-b,-b,-b,a,-b,a],[a,a,-b,-b,a,a,a,-b,-b,a,-b,a,-b,-b,-b,a,-b,a,a],[a,-b,a,a,-b,-b,a,a,-b,a,-b,-b,-b,-b,a,-b,a,a,a],[a,-b,a,a,a,a,-b,a,-b,-b,-b,-b,a,a,-b,a,-b,-b,a],[a,-b,-b,a,-b,a,a,a,a,-b,a,a,-b,-b,a,a,-b,-b,-b],[a,a,-b,-b,a,-b,-b,a,a,a,-b,-b,-b,a,a,a,a,-b,-b]];
return M;
}

function M23() { a=1; b=0.710099;
M=[[a,-b,-b,-b,-b,-b,-b,-b,-b,-b,-b,-b,a,a,a,a,a,a,a,a,a,a,a],[-b,a,-b,-b,-b,-b,-b,a,a,a,a,a,a,-b,-b,-b,-b,-b,a,a,a,a,a],[-b,-b,a,-b,-b,a,a,a,a,-b,a,-b,-b,a,-b,-b,a,a,a,a,-b,a,-b],[-b,-b,-b,a,a,a,-b,a,a,-b,-b,a,-b,-b,a,a,a,-b,a,a,-b,-b,a],[-b,-b,-b,a,-b,a,a,-b,-b,a,a,a,-b,-b,a,-b,a,a,-b,-b,a,a,a],[-b,-b,a,a,a,-b,-b,a,-b,a,a,-b,-b,a,a,a,-b,-b,a,-b,a,a,-b],[-b,-b,a,-b,a,-b,a,-b,a,a,-b,a,-b,a,-b,a,-b,a,-b,a,a,-b,a],[-b,a,a,a,-b,a,-b,-b,a,a,-b,-b,a,a,a,-b,a,-b,-b,a,a,-b,-b],[-b,a,a,a,-b,-b,a,a,-b,-b,-b,a,a,a,a,-b,-b,a,a,-b,-b,-b,a],[-b,a,-b,-b,a,a,a,a,-b,a,-b,-b,a,-b,-b,a,a,a,a,-b,a,-b,-b],[-b,a,a,-b,a,a,-b,-b,-b,-b,a,a,a,a,-b,a,a,-b,-b,-b,-b,a,a],[-b,a,-b,a,a,-b,a,-b,a,-b,a,-b,a,-b,a,a,-b,a,-b,a,-b,a,-b],[a,a,-b,-b,-b,-b,-b,a,a,a,a,a,-b,a,a,a,a,a,-b,-b,-b,-b,-b],[a,-b,a,-b,-b,a,a,a,a,-b,a,-b,a,-b,a,a,-b,-b,-b,-b,a,-b,a],[a,-b,-b,a,a,a,-b,a,a,-b,-b,a,a,a,-b,-b,-b,a,-b,-b,a,a,-b],[a,-b,-b,a,-b,a,a,-b,-b,a,a,a,a,a,-b,a,-b,-b,a,a,-b,-b,-b],[a,-b,a,a,a,-b,-b,a,-b,a,a,-b,a,-b,-b,-b,a,a,-b,a,-b,-b,a],[a,-b,a,-b,a,-b,a,-b,a,a,-b,a,a,-b,a,-b,a,-b,a,-b,-b,a,-b],[a,a,a,a,-b,a,-b,-b,a,a,-b,-b,-b,-b,-b,a,-b,a,a,-b,-b,a,a],[a,a,a,a,-b,-b,a,a,-b,-b,-b,a,-b,-b,-b,a,a,-b,-b,a,a,a,-b],[a,a,-b,-b,a,a,a,a,-b,a,-b,-b,-b,a,a,-b,-b,-b,-b,a,-b,a,a],[a,a,a,-b,a,a,-b,-b,-b,-b,a,a,-b,-b,a,-b,-b,a,a,a,a,-b,-b],[a,a,-b,a,a,-b,a,-b,a,-b,a,-b,-b,a,-b,-b,a,-b,a,-b,a,-b,a]];
return M;
}

Вложение M7 в M3 НЕОРТОГОНАЛЬНО
M3=mersenne(3); M7=mersenne(7); a=1; b=1;
M3=numbers(M3); M7=numbers(M7); H=scarpism(M3,M7); mesh(H);

{{I=H’*H}}
// ВЫВОД ЧЕРЕЗ XML-ФАЙЛ (РИСУЕТ СЕРВЕР)
// {{“H.xml”=H}} plot(“../files/H.xml:C”); // I=rowcol(I,0,80,0,80);
// ПРОВЕРКА
putm(I);

function scarpism(M1,M2){
var i,j,k,l,n,ni,nj,nk,nl,kl,ikl,nik,nil,Mkl,Mlk;
n1=rows(M1); n2=rows(M2);
M1=sign(M1); M2=sign(M2);
H=ones(n1*n2+n1); puts(n1*n2+n1);
for(k=0;k<n1;k++) { nk=n2*k+k;
for(l=0;l<n1;l++) { nl=n2*l+l; kl=k*l;
H[nk][nl]=-1; Mkl=M1[k][l]; Mlk=M1[l][k];
for(i=0;i<n2;i++) { nik=nk+i+1; nil=nl+i+1;
H[nik][nl]=Mkl; H[nl][nik]=Mlk; ikl=(i+k*l)%n2;
for(j=0;j<n2;j++) H[nil][nk+j+1]=M2[ikl][j];
}}}
return H;
}

function mersenne(n) {
var i,j,i1,j1,ki1,kj1,k,m,S,M,a,mb,s;
a=’a’; mb=’-b’; M=a; k=3; m=k;
while (m<=n) { if (m==3) {
M=[[a,mb,a],[mb,a,a],[a,a,mb]]; }else{
S=M; M=matrix(m,m); M[0][0]=a;
for (i=0;i<k;i++) for (j=0;j<=i;j++) { s=S[i][j];
i1=i+1; j1=j+1; ki1=k+i1; kj1=k+j1;
M[i1][j1]=s; M[i1][kj1]=s; M[j1][ki1]=s;
M[j1][i1]=s; M[kj1][i1]=s; M[ki1][j1]=s;
if (s==a) { s=mb; }else{ s=a; }
M[ki1][kj1]=s; M[kj1][ki1]=s;
if (j==0) {
M[j][i1]=mb; M[j][ki1]=a;
M[i1][j]=mb; M[ki1][j]=a;
}}}
k=m; m=2*k+1;
}
return M;
}

function mersenneb(n) {
var b=1; if (n==3) { b=b/2; }else{
var q=n+1; b=(q-sqrt(4*q))/(q-4); }; return b;
}

function M7() { // ОТЛАДОЧНАЯ
M=[[1,-1,1,-1,1,-1,1],[-1,1,1,-1,-1,1,1],[1,1,-1,-1,1,1,-1],[-1,-1,-1,1,1,1,1],[1,-1,1,1,-1,1,-1],[-1,1,1,1,1,-1,-1],[1,1,-1,1,-1,-1,1]];
return M;
}

function M11() { a=1; b=0.633973;
M=[[a,-b,-b,-b,-b,-b,a,a,a,a,a],[-b,a,-b,-b,a,a,a,a,-b,a,-b],[-b,-b,a,a,a,-b,a,a,-b,-b,a],[-b,-b,a,-b,a,a,-b,-b,a,a,a],[-b,a,a,a,-b,-b,a,-b,a,a,-b],[-b,a,-b,a,-b,a,-b,a,a,-b,a],[a,a,a,-b,a,-b,-b,a,a,-b,-b],[a,a,a,-b,-b,a,a,-b,-b,-b,a],[a,-b,-b,a,a,a,a,-b,a,-b,-b],[a,a,-b,a,a,-b,-b,-b,-b,a,a],[a,-b,a,a,-b,a,-b,a,-b,a,-b]];
return M;
}

function M19() { a=1; b=0.690974;
M=A=[[a,-b,-b,-b,-b,-b,-b,-b,-b,-b,a,a,a,a,a,a,a,a,a],[-b,a,-b,-b,-b,a,a,a,-b,a,a,-b,a,a,a,-b,-b,-b,a],[-b,-b,a,-b,a,-b,a,a,-b,a,a,a,a,-b,-b,a,a,-b,-b],[-b,-b,-b,a,-b,a,a,-b,a,a,-b,-b,a,a,-b,a,a,a,-b],[-b,-b,a,-b,a,a,a,-b,a,-b,-b,a,-b,a,a,-b,a,-b,a],[-b,a,-b,a,a,a,-b,a,-b,-b,-b,a,a,-b,a,-b,a,a,-b],[-b,a,a,a,a,-b,a,-b,-b,-b,a,-b,-b,a,a,a,-b,a,-b],[-b,a,a,-b,-b,a,-b,a,a,-b,a,-b,-b,-b,-b,a,a,a,a],[-b,-b,-b,a,a,-b,-b,a,a,a,a,a,-b,a,-b,-b,-b,a,a],[-b,a,a,a,-b,-b,-b,-b,a,a,-b,a,a,-b,a,a,-b,-b,a],[a,a,a,-b,-b,-b,a,a,a,-b,-b,a,a,a,-b,-b,-b,a,-b],[a,-b,a,-b,a,a,-b,-b,a,a,a,-b,a,-b,a,-b,-b,a,-b],[a,a,a,a,-b,a,-b,-b,-b,a,a,a,-b,a,-b,-b,a,-b,-b],[a,a,-b,a,a,-b,a,-b,a,-b,a,-b,a,-b,-b,-b,a,-b,a],[a,a,-b,-b,a,a,a,-b,-b,a,-b,a,-b,-b,-b,a,-b,a,a],[a,-b,a,a,-b,-b,a,a,-b,a,-b,-b,-b,-b,a,-b,a,a,a],[a,-b,a,a,a,a,-b,a,-b,-b,-b,-b,a,a,-b,a,-b,-b,a],[a,-b,-b,a,-b,a,a,a,a,-b,a,a,-b,-b,a,a,-b,-b,-b],[a,a,-b,-b,a,-b,-b,a,a,a,-b,-b,-b,a,a,a,a,-b,-b]];
return M;
}

function M23() { a=1; b=0.710099;
M=[[a,-b,-b,-b,-b,-b,-b,-b,-b,-b,-b,-b,a,a,a,a,a,a,a,a,a,a,a],[-b,a,-b,-b,-b,-b,-b,a,a,a,a,a,a,-b,-b,-b,-b,-b,a,a,a,a,a],[-b,-b,a,-b,-b,a,a,a,a,-b,a,-b,-b,a,-b,-b,a,a,a,a,-b,a,-b],[-b,-b,-b,a,a,a,-b,a,a,-b,-b,a,-b,-b,a,a,a,-b,a,a,-b,-b,a],[-b,-b,-b,a,-b,a,a,-b,-b,a,a,a,-b,-b,a,-b,a,a,-b,-b,a,a,a],[-b,-b,a,a,a,-b,-b,a,-b,a,a,-b,-b,a,a,a,-b,-b,a,-b,a,a,-b],[-b,-b,a,-b,a,-b,a,-b,a,a,-b,a,-b,a,-b,a,-b,a,-b,a,a,-b,a],[-b,a,a,a,-b,a,-b,-b,a,a,-b,-b,a,a,a,-b,a,-b,-b,a,a,-b,-b],[-b,a,a,a,-b,-b,a,a,-b,-b,-b,a,a,a,a,-b,-b,a,a,-b,-b,-b,a],[-b,a,-b,-b,a,a,a,a,-b,a,-b,-b,a,-b,-b,a,a,a,a,-b,a,-b,-b],[-b,a,a,-b,a,a,-b,-b,-b,-b,a,a,a,a,-b,a,a,-b,-b,-b,-b,a,a],[-b,a,-b,a,a,-b,a,-b,a,-b,a,-b,a,-b,a,a,-b,a,-b,a,-b,a,-b],[a,a,-b,-b,-b,-b,-b,a,a,a,a,a,-b,a,a,a,a,a,-b,-b,-b,-b,-b],[a,-b,a,-b,-b,a,a,a,a,-b,a,-b,a,-b,a,a,-b,-b,-b,-b,a,-b,a],[a,-b,-b,a,a,a,-b,a,a,-b,-b,a,a,a,-b,-b,-b,a,-b,-b,a,a,-b],[a,-b,-b,a,-b,a,a,-b,-b,a,a,a,a,a,-b,a,-b,-b,a,a,-b,-b,-b],[a,-b,a,a,a,-b,-b,a,-b,a,a,-b,a,-b,-b,-b,a,a,-b,a,-b,-b,a],[a,-b,a,-b,a,-b,a,-b,a,a,-b,a,a,-b,a,-b,a,-b,a,-b,-b,a,-b],[a,a,a,a,-b,a,-b,-b,a,a,-b,-b,-b,-b,-b,a,-b,a,a,-b,-b,a,a],[a,a,a,a,-b,-b,a,a,-b,-b,-b,a,-b,-b,-b,a,a,-b,-b,a,a,a,-b],[a,a,-b,-b,a,a,a,a,-b,a,-b,-b,-b,a,a,-b,-b,-b,-b,a,-b,a,a],[a,a,a,-b,a,a,-b,-b,-b,-b,a,a,-b,-b,a,-b,-b,a,a,a,a,-b,-b],[a,a,-b,a,a,-b,a,-b,a,-b,a,-b,-b,a,-b,-b,a,-b,a,-b,a,-b,a]];
return M;
}

A theorem of van Lint and Seidel (1966) asserts that, if a symmetric conference matrix of order n exists, then n-1 is the sum of two squares. Thus there is no such matrix of order 22 or 34. They exist for all other orders up to 42 which are congruent to 2 (mod 4), and a complete classification of these is known up to order 30.

Между тем, в самой книге указывается Иной автор D. Raghavarao (статьи 59, 60 годов), для случая n=2 mod 4 требование выглядит как ограничение на символ (n–1,–1)p=1 для всех простых p, Линту и Сейделю не принадлежит даже переформулировка условия, поскольку относительно нее они ссылаются на Белевича (1950) (!), который, в свою очередь, следует неким авторам. Кроме того, теоремой 5.2. отмечается, что это касается не столько матриц Белевича, сколько квазиортогональных рациональных матриц (к которым они принадлежат) Q’Q=mI, берется m – заведомо разложимое в сумму 4-х квадратов (ссылка на Лагранжа), составляется матрица Лагранжа (она же, Пропуса!) из элементов разложения m. Отмечается, что собственные значения C-матриц по модулю равны sqrt(n–1) !

Raghavarao, D. (1959). “Some optimum weighing designs”. Annals of Mathematical Statistics 30 (2): 295–303.

Теорема. Необходимое условие существования квадратной рациональной матрицы Q порядка n=2 (mod 4), удовлетворяющей условию Q’Q=wI, где w – целое число, состоит в том, что w – сумма квадратов двух целых чисел.

Доказательство. Выделим в матрице Q субблок A четвертого порядка

 

Q =
A
B
C
D

 

По теореме Лагранжа любое целое число представимо суммой четырех квадратов w=w12+w22+w32+w42. Введем в рассмотрение матрицу W такую, что W’W=wI

 

W =
 –w1
 w4
 w3
 w2
 w2
 w3
 –w4
 w1
 w3
 –w2
 w1
 w4
  w4
 w1
 w2
 –w3

 

причем det(A–W)<>0 (разность ортогональных матриц). Докажем, что для Q*=D–C(A–W)–1B (порядка n–4) справедливо то же самое равенство Q*’Q*=wI.

Обозначив множители в (–B’(A’–W’)–1 I) Q’Q (–(A–W)–1B; I) как X, Y, Z, U и приняв во внимание две версии равенств

X(YZ)U=B’(A’–W’)–1w(A–W)–1B+wI
(XY)(ZU)=B’(A’–W’)–1W’W(A–W)–1B+Q*’Q*

приходим к выводу, что итерациями понижения порядка на 4 можно спуститься до матрицы второго порядка. Но тогда w представимо суммой двух целых чисел (а не четырех).

Отметим, что приложение теоремы к Q=[0 e'; e J] приводит к теореме Брюса-Ризера (Bruck-Ryser) о существовании J’J+O=(n–1)I, J – матрица Якобсталя (Bruck, R.H. and H.J. Ryser, The existance of certain finite projective planes, Canad. J. Math. 1, 88-93 (1949))

МАТРИЦЫ БЕЛЕВИЧА-СКАРПИ (M3)
M3=mersennediag(3); a=1; b=1; M3=numbers(M3);

C=scarpisc(6,M3); // ПОРЯДКИ 6, 10, 14

mesh(C); {{I=C’*C}}
// ВЫВОД ЧЕРЕЗ XML-ФАЙЛ (РИСУЕТ СЕРВЕР)
// {{“C.xml”=C}} plot(“../files/C.xml:C”);
// ПРОВЕРКА // I=rowcol(I,0,80,0,80);
putm(I);

function scarpisc(N,M){
var C,i,j,k,l,n,nk,nl,nik,nil,c,d;
n=rows(M); N=floor(N/n); d=N+1-n;
M=sign(M); C=ones(N*n+d); z=-1;

for(i=0;i<d;i++) C[i][i]=0;
if (N==4) for(i=d;i<n*d+d;i++) { C[i][1]=z; C[1][i]=z; }

for(k=0;k<N;k++) { nk=n*k+d;
for(l=k;l<N;l++) { nl=n*l+d;

if (N==2) if (k==l) z=-z;
if (N==3) { z=-1; if (k==l) z=1; }
if (N==4) z=-z;

for(i=0;i<n;i++) { nik=nk+i;
if (N==4) nik=nk+(i+2*k*sign(k*l)*abs(l-k))%n;
if (N==4) { nik=nk+i; if (k!=l) if (k>0) { nik=nk+(i+N-l)%n; }}
for(j=0;j<n;j++) { nil=nl+j; c=0;
if (nik!=nil) c=z*M[i][j]; C[nik][nil]=c; C[nil][nik]=c; }}
}}
return C
}

function mersennediag(n) {
var i,j,i1,j1,ki1,kj1,k,m,S,M,a,mb,s;
a=’a’; mb=’-b’; M=a; k=3; m=k;
while (m<=n) { if (m==3) {
M=[[mb,a,a],[a,mb,a],[a,a,mb]]; }else{
S=M; M=matrix(m,m); M[0][0]=a;
for (i=0;i<k;i++) for (j=0;j<=i;j++) { s=S[i][j];
i1=i+1; j1=j+1; ki1=k+i1; kj1=k+j1;
M[i1][j1]=s; M[i1][kj1]=s; M[j1][ki1]=s;
M[j1][i1]=s; M[kj1][i1]=s; M[ki1][j1]=s;
if (s==a) { s=mb; }else{ s=a; }
M[ki1][kj1]=s; M[kj1][ki1]=s;
if (j==0) {
M[j][i1]=mb; M[j][ki1]=a;
M[i1][j]=mb; M[ki1][j]=a;
}}}
k=m; m=2*k+1;
}
return M;
}

function mersenneb(n) {
var b=1; if (n==3) { b=b/2; }else{
var q=n+1; b=(q-sqrt(4*q))/(q-4); }; return b;
}

 

Зейдель (Seidel) ввел матрицу Зейделя S, получаемую удалением каймы C-матрицы (зейделева матрица смежности некоторого графа). Это граф с n-1 вершиной, соответствующим строкам и столбцам матрицы S, две вершины являются смежными, если соответствующие элементы матрицы S отрицательны. Полученный граф является строго регулярным и относится к типу конференс-графов (названы так именно из-за конференс-матрицы).

Существование конференс-матриц порядка n, разрешаемое вышеуказнными ограничениями известно только для некоторых значений n. Например, если n = q + 1 где q является простой степенью сравнимой с 1 (mod 4), то существуют конференц-графы (q=5, 9, 13, 17, 25, 29) и графы Пэли, они дают примеры симметричных матриц порядка n: в качестве S берётся зейделева матрица смежности графа.

Матрица графа с q узлами k ребрами описывает связь узлов с ребрами (бинарно), кроме того, парой чисел характеризуется количество общих соседей у двух связанных и двух несвязанных узлов: первая матрица из таблицы приведена ниже (на диагонали 0): 25(узлов),12(ребер),5,6.






































































































МАКСИМАЛЬНЫЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ













Для n = 2 (mod 4), Ehlich показал, что квадрат детерминанта ограничен значением 4(n–2)n–2(n–1)2, причем для порядков n<=38 они существуют определенно для p=n–1 увязанных с Hubert’s symbols, проблемны n = 22, 34, 58, 70, 78, 94, 106, 130, 134, 142, 162, 166, 178, and 190 (как у Белевичей): M=[A B, -B' -A'], MM’=[P 0;0 P], P=diag(n,2), 2 за пределами диагонали.

H. Ehlich, “Determinantenabsch?tzungen f?r bin?re Matrizen,” Math. Z., v. 83, 1964, pp. 123-132

The most general upper bound on the maximal determinant, due to Barba, can only be achieved when the order is the sum of two consecutive squares. It is conjectured that the bound is always attained in such cases. Apart from these, only in orders 3, 7, 9, 11, 17 and 21 has the maximal value been established.

Блочная, порядок 7







================================================================

http://mathscinet.ru/ebook/balonin/index.php?makeup=1

Comments are closed.